Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Формулировка[]

Пусть функция $f:M \subset \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ имеет во внутренней точке области определения $x \in M^0$ локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные $f'_+(x_0),f'_-(x_0)$ конечные или бесконечные. Тогда

eсли $x_0$ — точка локального максимума, то
$f'_+(x_0) \le 0,\; f'_-(x_0) \ge 0;$
eсли $x_0$ — точка локального минимума, то
$f'_+(x_0) \ge 0,\; f'_-(x_0) \le 0.$

В частности, если функция $f$ имеет в $x_0$ производную, то

f'(x_0) = 0.

Замечание[]

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры[]

Пусть $f(x) = |x|.$ Тогда $x = 0$ — точка локального минимума, и
$f'_+(0) = 1 \ge 0,\; f'_-(0) = -1 \le 0.$
Пусть $f(x) = x^2.$ Тогда $x = 0$ — точка локального минимума, и
$f'(0) = 0.$
Пусть $f(x) = x^3.$ Тогда