Линейная зависимость

Линейная зависимость – соотношение вида

{\displaystyle c_1 u_1+\ldots+c_n u_n = 0 }

между элеменнтами $u_1, \ldots, u_n$ векторного пространства над полем $K$ , где среди коэффициентов $c_1, \ldots, c_n$ хотя бы один отличен от нуля.

Например, можно говорить о линейной зависимости между векторами, линейными формами, функциями от одной или нескольких переменных и т.д.

Если между элементами $u_1, \ldots, u_n$ имеется линейная зависимость, то говорят, что они линейно зависимы, в противном случае их называют линейно независимыми.

Элементы $u_1, \ldots, u_n, n > 1,$ линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т.е.

{\displaystyle u_i = \sum_{j \not= i} \alpha_j u_j. }

Если в $n$ -мерном векторном пространстве выбран базис $e_1,\ldots, e_n$ , то $m$ элементов $u_1, \ldots, u_m:$

{\displaystyle u_i = \sum_{j \not= i} u_{ij} e_j, i=1,\ldots,m, }

этого пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда матрица из их компонент в этом базисе имеет ранг, меньший $m;$ в частности, при $n = m$ последнее означает равенство нулю определителя:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\cr»): {\displaystyle \left| \begin{matrix} u_{11}& \ldots & u_{1n}\cr \ldots& \ldots & \ldots\cr u_{n1}& \ldots & u_{nn} \end{matrix} \right| = 0. }

Для линейной зависимости $n$ векторов евклидова пространства любой размерности необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\cr»): {\displaystyle \left| \begin{matrix} (u_1,u_1)& \ldots & (u_1,u_n)\cr \ldots& \ldots & \ldots\cr (u_n,u_1)& \ldots & (u_n,u_n) \end{matrix} \right| = 0, }

где $(\cdot ,\cdot)$ обозначает скалярное произведение в этом пространстве. Например, для непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций $\varphi_i(x), i=1,\ldots,n,$ можно положить

{\displaystyle (\varphi_i, \varphi_k) = \int_a^b \varphi_i(x)\varphi_k(x) dx. }

Если $n-1$ раз дифференцируемые функции $\varphi_i(x), i=1,\ldots,n,$ на отрезке $[a, b]$ линейно зависимы, то их вронскиан тождественно равен $0$ . Обратно, если $\varphi_i(x), i=1,\ldots,n,$ являются решениями некоторого линейного дифференциального уравнения порядка $n$ и их вронскиан обращается в 0 в некоторой точке отрезка, то они линейно зависимы.

В теории вероятностей и статистике существует не имеющее отношение к рассматриваемому понятие меры линейной зависимости между случайными векторами.

См. также[]

Линейная независимость
Ортогональность
Матроид – обобщение понятия линейной независимости векторов
Вронскиан
Матрица Грама

Линейная зависимость

См. также[]

Внешние ссылки[]