Линейная независимость

В линейной алгебре семейство векторов линейно независимо, если никакой из них не может быть линейной комбинацией конечного множества других векторов из этого семейства. Семейство векторов, которое не является линейно независимым, называется линейно зависимым. Так в трехмерном вещественном векторном пространстве $\mathbb R^{3}$ мы имеем следующий пример.

$\begin{matrix} \mbox{independent}\qquad\\ \underbrace{ \overbrace{ \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix} }, \begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix} }\\ \mbox{dependent}\\ \end{matrix}$

Здесь первые три вектора линейно независимы; но четвертый вектор равняется 9 раз первый плюс 5 раз второй плюс 4 раза третий, так что эти четыре вектора линейно зависимы. Линейная зависимость – это свойство семейства, а не отдельного вектора; например в данном случае мы могли бы аналогично записать первый вектор как линейную комбинацию трех последних.

$\bold{v}_1 = \left(-\frac{5}{9}\right) \bold{v}_2 + \left(-\frac{4}{9}\right) \bold{v}_3 + \frac{1}{9} \bold{v}_4 .$

В теории вероятностей и статистике существует не имеющее отношение к рассматриваемому понятие меры линейной зависимости между случайными векторами.

См. также

• Ортогональность
• Матроид – обобщение понятия линейной независимости векторов
• Вронскиан
• Матрица Грама

Внешние ссылки

• Онлайн заметки по линейной независимости (англ.)
• Линейно зависимые функции на WolframMathWorld