Линейное пространство

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Линейное (векторное) пространство — естественное обобщение обычного трёхмерного евклидова пространства; в нём определены две алгебраические операции: сложение элементов (векторов) и умножение элементов на число (скаляр), подчинённые семи аксиомам.

Определение

Пусть $\mathbb{K}$ — поле вещественных или комплексных чисел (поле скаляров). Множество $\mathbf{X}$ называется линейным (векторным) пространством над $\mathbb{K}$, если

• для каждых двух его элементов $x$ и $y$ определена их сумма $x+y\in \mathbf {X}$ и
• для любого элемента $x\in \mathbf {X}$ и числа $\lambda \in \mathbb{K}$ определено произведение $\lambda x\in \mathbf {X} ;$

причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы линейного пространства

1. $(x+y)+z=x+(y+z)$ (ассоциативность сложения);
2. $x+y=y+x$ (коммутативность сложения);
3. $(\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)$ (ассоциативность умножения);
4. $(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x$ (дистрибутивность);
5. $\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$ (дистрибутивность);
6. в $\mathbf{X}$ существует такой элемент $\mathbf{0}$, что $\mathbf {0} \cdot x=\mathbf {0}$ для любого $x\in \mathbf {X}$ (нулевой элемент);
7. $\mathbf {1} \cdot x=x$ (умножение на единицу);

Если в множестве $\mathbf{X}$ введены операции сложения и умножения на число так, что $\mathbf{X}$ превращено в линейное пространство, то говорят, что $\mathbf{X}$ наделено линейной структурой. Линейное пространство над $\R$ называется вещественным, а над $\mathbb{C}$ — комплексным линейным пространством.

См.также

• Математический анализ
• Функциональный анализ