Математическая модель

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

Математическая модель — это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными.

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой $m$, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием $x$ от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука ($F=-kx$) после чего воспользуемся \emph{вторым законом Ньютона}, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

$m{\ddot {x}}=-kx,$

где ${\ddot {x}}$ означает вторую производную от $x$ по времени: ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$. Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором». В процессе ее построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.~д.), которые в реальности могут не выполняться. В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на ее поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости. Впрочем, при уточнении модели, сложность ее математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Жесткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор — пример так называемой «жесткой» модели. Как уже было сказано, она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о ее применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жесткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

$m{\ddot {x}}=-kx+\varepsilon f(x,{\dot {x}}),$

Здесь $f(x,{\dot {x}})$ — некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жесткости пружины от степени ее растяжения, $\varepsilon$ — некоторый малый параметр. Явный вид функции $f$ нас в данный момент не интересует~. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жесткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жесткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жесткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида $x(t)=A\sin {\sqrt {k}}t+B\cos {\sqrt {k}}t$, то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в $U$-образном сосуде, изменение силы тока в колебательном контуре или колебания популяций биологических видов. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений.

Задачи математического моделирования

Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать ее поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра $k$ -- прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с ее моделью. Еще одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

Дополнительные примеры

Модель Мальтуса

Cкорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

${\dot {x}}=\alpha x,$

где $\alpha$ — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция $x(t)=x_{0}e^{\alpha t}$. Если рождаемость превосходит смертность ($\alpha >0$), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

${\dot {x}}=\alpha \left(1-{\frac {x}{x_{s}}}\right)x,$

где $x_{s}$ — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению $x_{s}$, причем такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов $x$, число лис $y$. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя Вольтерра--Лотки:

${\begin{cases}{\dot {x}}=(\alpha -cy)x;\\{\dot {y}}=(-\beta +dx)y.\end{cases}}$

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебания численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновестное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Волтерра--Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Список литературы

• Арнольд В. И. Жёсткие и мягкие математические модели. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-134-4. (см. ISBN )

• Безручко Б. П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. — ISBN 5-94409-045-6. (см. ISBN )

• Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.. — 2-е изд., испр.. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0120-X. (см. ISBN )

• Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004. — ISBN 5-94010-272-7. (см. ISBN )

• Чимбал Б. Н. Математическое моделирование сложных систем в металлургии. — Москва: "Российские университеты" Кузбассвузиздат - АСТШ, 2004. — ISBN 5-202-00925-9. (см. ISBN )