Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений , то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.
Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой (или, что эквивалентно, ). Значение этого раскрывается в следующем разделе.
Геометрия пространства-времени[]
NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера[1]
В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.
Метрический тензор[]
Дифференцируемое многообразие[2] M, снабжённое лоренцевым метрическим тензоромg, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).
Возьмём какую-нибудь систему координат в окрестности точки , и пусть — локальный базис в касательном пространстве к многообразию в точке . Касательный вектор запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:
При этом величины называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор тогда — симметричная билинейная форма:
где через обозначен дуальный по отношению к базис в кокасательном пространстве, то есть такие линейные формы на , что:
Далее будем предполагать, что компоненты метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно[3].
Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:
Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.
Скалярное произведение[]
Метрический тензор определяет для каждой точки многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию в точке псевдоевклидовом пространстве . Если и — два вектора , их скалярное произведение запишется как:
В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:
Замечание: если величины обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:
Элементарное расстояние — интервал[]
Рассмотрим вектор элементарного перемещения между точкой и бесконечно близкой точкой: . Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое , называемое квадратом интервала, и равное:
.
Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» , инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:
Внимание: в этой формуле, а также и далее, представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты , а не как дифференциальная форма!
Лоренцева метрика[]
Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.
В такой локально инерциальной системе координат инвариант в точке запишется как:
где имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки , то есть . Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем[1]:
Далее используются следующие обычные соглашения:
греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.
Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:
Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.
Лоренцев характер многообразия обеспечивает, таким образом, то, что касательные к в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:
Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной[]
Обобщенно, аффинной связностью называется оператор , который приводит в соответствие векторному полю из касательного пучка поле эндоморфизмов этого пучка. Если — касательный вектор в точке , обычно обозначают
Говорят, что является «ковариантной производной» вектора в направлении . Предположим к тому же, что удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо
Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:
линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:
линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и действительные числа a и b, мы имеем:
Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если и — два любых тензора, то по определению:
Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.
Связность, ассоциированная с метрикой[]
Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты[1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM
(метричность — тензор неметричности равен нулю).
, где — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).
Описание в координатах[]
Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:
где представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).
Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов вдоль направления . Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) зависящие от 3 индексов[4]
Связность Леви-Чивита полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле
для вектора V:
Зная, что , получаем:
Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме
Из этого получаем важную формулу для компонент:
Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:
Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:
Расчёт этой ковариантной производной приводит к
где — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями
Символы Кристоффеля «симметричны»[5] по отношению к нижним индексам:
Замечание: иногда определяются также следующие символы:
получаемые как:
Тензор кривизны Римана[]
Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как
Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:
Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так
или так
где — космологическая константа, — скорость света в вакууме, — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, — тензор Эйнштейна, а — тензор энергии-импульса.
Симметричный тензор имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.
В нём обнаруживаются следующие физические величины:
T00 — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
T10, T20, T30 — плотности компонент импульса.
T01, T02, T03 — компоненты потока энергии.
Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:
— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.
Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице , где есть плотность массы, а — гидростатическое давление.
Примечания[]
↑ 1,01,1C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. или Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
↑Далее мы везде не пишем индекс 4, уточняющий размерность многообразия «M».
↑Более точно, они должны быть по крайней мере класса C².
↑Внимание, символы Кристоффеля не являются тензорами.
↑Слово «симметричны» взято в кавычки, так как эти индексы в силу своего происхождения — не тензорные.