Математическое ожидание

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Математическое ожидание, среднее значение — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для дискретной случайной величины $\xi$, которая принимает значения $x_1,\ldots,x_n,\ldots$ с вероятностями $p_1,\ldots,p_n,\ldots$ определяется формулой

${\rm E}\xi = \sum_{k} x_k p_k$

при условии, что ряд сходится; для непрерывной случайной величины $\xi$, имеющей плотность вероятности $f(x)$ — определяется формулой

${\rm E}\xi = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$

при условии, что интеграл сходится абсолютно; характеризует расположение значений случайной величины на числовой оси — эта роль математического ожидания полностью разъясняется законом больших чисел; при сложении случайных величин и умножении на константу их математические ожидания складываются и умножаются на ту же константу; однако при умножении случайных величин их математические ожидания перемножаются, только если случайные величины независимы.

Происхождение

Термин «математическое ожидание» введён Пьером Лапаласом (1795) и произошёл от понятия «ожидаемого значения выигрыша», впервые появившегося (XVII в.) в теории азартных игр в трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса. Однако первое полное теоретическое осмысление и оценка этого понятия даны Пафнутием Львовичем Чебышёвым (середина XIX в.).

Экстремальные свойства

Математическое ожидание ${\rm E}\xi$ случайной величины $\xi$ минимизирует средний квадрат её отклонения:

${\rm E}(\xi-{\rm E}\xi)^2 = \min_a {\rm E}(\xi-a)^2.$

В механике

Формальная механическая аналогия математическому ожиданию распределения вероятностей — центр тяжести распределения масс.

Литература

• Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.

См.также

• Мода (в теории вероятностей)
• Медиана (в теории вероятностей)
• Теория вероятностей

---

Статья основана на материалах Большой советской энциклопедии.