Метод двудольных множеств случайных событий

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Метод двудольных множеств случайных событий

Двудольное множество случайных элементов

В ситуации, когда поведение каждого элемента сложной системы характерезуется данными, одна часть которых является числовой, а другая множественной, объект, порождающий данную двудольную статистику, было предложено преставить как объединение двух долей: случайных величин и случайных множеств событий. Первая доля это случайные величины $\xi$, вторая случайные множества событий в K, Пусть А - множество индексов случайных величин, В - множество индексов случайных множеств. Тогда множество случайных величин $\xi =\{\xi _{a},a\in A\}$, а множество случайных множеств $K=\{K_{\beta},\beta\in B\}$.

Множество случайных элементов $\{K,\xi \}$, представимое в виде объединения этих двух долей, будем называть двудольным множеством случайеых элементов. Двудольное множество случайных элементов представимо в виде:

$\{\xi ,K\}=\xi \cap K=\{\xi _{a},a\in A\,\beta \in B\}$

Двудольное множество случайных событий

Пусть $\{\xi _{a},a\in A\}$ являются случайными величинами с конечным множеством конечных значений. Для каждой случайной величины определено множество её возможных значений

$R_{a}=\{r_{a_{1}}\dots r_{a_{N_{a}}}\}\subseteq R,a\in A$

Было предложено каждой случайной величине $\xi _{a},a\in A$ поставить в соответствие множество событий $\mathcal{Y}_a$ следующим образом:

$\xi _{a}\Longrightarrow {\mathcal {Y}}_{a}=\{{\mathcal {Y}}_{a}(r_{a}),r_{a}\in R_{a}\}$.

Здесь событие ${\mathcal {Y}}_{a}(r_{a})=\{{\xi }_{a}\leq r_{a}\}=\{\omega :\xi _{a}(\omega )\leq r_{a}\}$ - это событие из определения функции распределения случайной величины $\xi _{a}:F(r_{a})=P(\{\xi _{a}\leq r_{a}\})$. Каждое множество событий ${\mathcal {Y}}_{a},a\in A$ обладает вложенной структурой зависимостей, поскольку ${\mathcal {Y}}_{a}(r_{a_{1}})\subseteq {\mathcal {Y}}_{a}(r_{a_{2}})\subseteq {\mathcal {Y}}_{a}(r_{a_{3}})$, если $r_{a_{1}}\leq r_{a_{2}}\leq r_{a_{3}}$. Поэтому при задании множества $\mathcal{Y}_a$ необходимо учитывать порядок на множестве $\R$.

Всей первой доле - случайным величинам было поставлено в соответствие множество случайных событий $\mathcal Y$, то есть $\xi\Rightarrow\mathcal{Y}=\sum_{a\in A}\mathcal{Y}_a$. Каждому случайному множеству событий $K_{\beta },\beta \in B$ ,было поставлено в соответствие множество случайных событий ${\mathfrak {X}}_{\beta }:K_{\beta }\Leftrightarrow {\mathfrak {X}}_{\beta }$. Второй доле - случайным множествам было поставлено в соответствие множество всех возможных случайных событий $\mathfrak{X}$ следующим образом:

$K\Leftrightarrow {\mathfrak {X}}=\sum _{\beta \in B}{{\mathfrak {X}}_{\beta }},\beta \in B$.

Аналогично тому, как случайному множеству событий $K$ в эвентологии О. Ю. Воробьевым было поставлено в соответствие множество случайных событий $\mathfrak{X}$, И. В. Барановой было предложено двудольному множеству случайных элементов $\{\xi,K\}$поставить в соответствие двудольное множество случайных событий: $\{\xi, K\}\Rightarrow\{\mathcal{Y}, \mathfrak{X}\}$

Двудольное множество случайных событий представляет собой объединение двух множеств - множества событий, которое определяется случайными величинами, и множества событий, которое определяется случайными множествами событий: $\{\mathcal{Y},\mathfrak{X}\}=\{\mathcal{Y}_a,\mathfrak{X}_\beta, a\in A,\beta\in B\}$

Двудольная эвентологическая модель сложных систем

Сложная система представляется как совокупность большого числа элементов, обладающая сложной структурой зависимостей между ними. Поэтому поведение всей системы определяется поведением каждого его элемента.

И. В. Барановой было выведено понятие двудольной эвентологической модели сложной системы.

Двудольной эвентологической моделью сложной системы будем называть такую систему, для которой поведение каждого элемента характерезуется двудольным множеством случайных событий $\{\mathcal{Y}, \mathfrak{X}\}$, первая доля $\mathcal Y$ определяется случайными величинами $\xi$, а вторая доля $\mathfrak{X}$ - случайными множествами событий К.

Интерпретация множеств событий $\mathcal Y$ и $\mathfrak{X}$ в различных прикладных областях может быть самой разной.

Метод двудольных множеств случайных событий в эвентологическом системном анализе

Метод двудольных множеств случайных событий в эвентолгическом системном анализе заключается в представлениии любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой поведение каждого элемента системы характерезуется двудольным множеством событий: его превая доля определяется случайными величинами, а вторая - случайными множествами событий, и сведению анализа поведения элементов системы к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Пусть система состоит из n элементов. Каждый элемент характерезуется показателями, одна часть которых является числовыми, а другая - множественными. Пусть $s^{+}=\{\mathcal{Y}^{+}, \mathfrak{X}^{+}\}$-двудольное множество событий, характерезующих поведение идеального "наилучшего" элемента системы (т. е. элемента, все показатели которого имеют наилучшие значения).

А $s^{1}=\{{\mathcal {Y}}^{1},{\mathfrak {X}}^{1}\},\dots ,s^{n}=\{{\mathcal {Y}}^{n},{\mathfrak {X}}^{n}\}$ - двудольные множества событий, характерезующих поведение каждого элемента системы. $|{\mathcal {Y}}^{+}|=|{\mathcal {Y}}^{1}|=...=|{\mathcal {Y}}^{n}|,|{\mathfrak {X}}^{+}|=|{\mathfrak {X}}^{1}|=...=|{\mathfrak {X}}^{n}|$.

${\mathcal {Y}}=\bigcup _{a\in A}{\mathcal {Y}}_{a},{\mathfrak {X}}=\sum _{\beta \in B}{\mathfrak {X}}_{\beta }.$

Идеальный "наилучший" и n элементов системы представимы в более подробном виде:

$s^{+}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{+},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{+},a\in A,\beta \in B\},$ $s^{1}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{1},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{1},a\in A,\beta \in B\},\dots ,s^{n}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{n},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{n},a\in A,\beta \in B\}$

Сет-операции по Минковскому над двудольными множествами случайных событий

На практике сравнение элементов сложной системы затруднено из-за большого их числа и сложной стркутуры зависимостей между ними. Но в методе двудольных множеств событий каждый элемент предложено свести к двудольному множеству случайных событий, следовательно, зная их Э распределения, можно над ними проводить любые действия с помощью сет-операции по Минковскому.

Пусть имеются два двудольных множества $s^{1}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{1},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{1},a\in A,\beta \in B\}$

Произвольной сет-операцией по Минковскому над двумя двудольными множествами событий $s^1$и $s^{2}$ называется теоретико-множественная опреация, которая представляется как множество событий, полученных с помощью операций по Минковскому над соответствующими событиями из каждой доли

$s^{1}({\mathcal {O}})s^{2}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{1}({\mathcal {O}}){\mathcal {Y}}_{a}^{2},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{1}({\mathcal {O}}){\mathfrak {X}}_{\beta }^{2},a\in A,{\beta }\in B\}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{1}(r_{a}){\mathcal {O}}{\mathcal {Y}}_{a}^{2}(r_{a}),{\mathfrak {X}}_{\beta }^{1}{\mathcal {O}}{\mathfrak {X}}_{\beta }^{2},X_{\beta }\subseteq {\mathfrak {X}}_{\beta },r_{a}\in {\mathcal {R}}_{a},a\in A,{\beta }\in B\}.$

Здесь ${\mathcal {Y}}_{a}^{1},{\mathcal {Y}}_{a}^{2}\subseteq {\mathcal {Y}}_{a},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{1},{\mathfrak {X}}_{\beta }^{2},{\mathfrak {X}}_{\beta }.$. Вероятность произвольной операции

$P(s^{1}({\mathcal {O}})s^{2})={\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}{\frac {1}{|{\mathcal {Y}}_{a}|}}\sum _{r_{a}\in {\mathcal {R}}_{a}}{P({\mathcal {Y}}_{a}^{1}(r_{a}){\mathcal {O}}{\mathcal {Y}}_{a}^{2}(r_{a}))}+{\frac {1}{|B|}}\sum _{\beta \in B}{\frac {1}{|{\mathfrak {X}}_{\beta }|}}\sum _{X_{\beta }\subseteq {\mathfrak {X}}_{\beta }}{P(X_{\beta }^{1}{\mathcal {o}}X_{\beta }^{2})}.$

Сет-операция симметрической разности по Минковскому двух двудольных множеств событий$s^1$ и $s^{2}$ определяется так:

$s^{1}(\triangle )s^{2}=\{{\mathcal {Y}}_{a}^{1}(r_{a})\triangle {\mathcal {Y}}_{a}^{2}(r_{a}),X_{\beta }^{1}\triangle X_{\beta }^{2},X_{\beta }\subseteq {\mathfrak {X}}_{\beta },r_{a}\in {\mathcal {R}}_{a},a\in A,\beta \in B\}.$

Вероятность симметрической разности равна:

$P(s^{1}(\triangle )s^{2})={\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}{\frac {1}{|{\mathcal {Y}}_{a}|}}\sum _{r_{a}\in {\mathcal {R}}_{a}}{P({\mathcal {Y}}_{a}^{1}(r_{a})\triangle {\mathcal {Y}}_{a}^{2}(r_{a}))}+{\frac {1}{|B|}}\sum _{\beta \in B}{\frac {1}{|X_{\beta }|}}\sum _{X_{\beta }\subseteq {\mathfrak {X}}_{\beta }}{P(X_{\beta }^{1}\triangle X_{\beta }^{2})}.$

Было доказано, что вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому двух двудольных множеств событий является псевдометрикой между ними, поэтому можно применить ее для измерения расстояния между двудольными множествами событий.

Задача нахождения наулучшего элемента системы

Наилучшим элементом системы будет элемент i, у которого Э-распределение двудольного множества событий $s^i$ наиболее близко к Э-распределению двудоль\-ного множества событий идеального "наилучшего" элемента $s^+$:

$P(s^{+}(\triangle )s^{i*})=\min _{i=1,\dots ,n}{P(s^{+}(\triangle )s^{i})},$

где $P(s^{+}(\triangle )s^{i})={\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}{\frac {1}{|{\mathcal {Y}}_{a}|}}\sum _{r_{a}\in {\mathcal {R}}_{a}}{P({\mathcal {Y}}_{a}^{+}(r_{a})\triangle {\mathcal {Y}}_{a}^{i}(r_{a}))}+{\frac {1}{|B|}}\sum _{\beta \in B}{\frac {1}{|{\mathfrak {X}}_{\beta }|}}\sum _{X_{\beta }\in {\mathfrak {X}}_{\beta }}{P(X_{\beta }^{+}\triangle X_{\beta }^{i})}.$

Поскольку Э-распределение каждого множества со вложенной структурой зависимостей ${\mathcal {Y}}_{a},a\in A$ определяется индивидуальными вероятностями событий $p(x)$, можно переписать задачу нахождения наилучшего элемента системы так:

$P(s^{+}(\triangle )s^{i})=\min _{i=1,\dots ,n}{P(s^{+}(\triangle )s^{i})}$

$P(s^{+}(\triangle )s^{i})={\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}{\frac {1}{|{\mathcal {Y}}_{a}|}}\sum _{j=1}^{N_{a}}{P({\mathcal {Y}}_{a}^{+}(r_{a_{j}})-{\mathcal {Y}}_{a}^{+}(r_{a_{j}-1}))\triangle ({\mathcal {Y}}_{a}^{i}(r_{a_{j}})-{\mathcal {Y}}_{a}^{i}(r_{a_{j}-1}))}+{\frac {1}{|B|}}\sum _{\beta \in B}{\frac {1}{|{\mathfrak {X}}_{\beta }|}}\sum _{X_{\beta }\in {\mathfrak {X}}_{\beta }}{P(X_{\beta }^{+}\triangle X_{\beta }^{i})}.$