Метод двудольных множеств случайных событий и его применение к решению задач системного анализа

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

На данный момент сложные системы, поведение которых характеризуются числовыми и множественными данными, недостаточно хорошо изучены. Для устранения трудностей анализа сложных систем, связанных с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение, в [1] предложено применять эвентологический подход к изучению систем и рассматривать системы как множества событий, характеризующих их поведение.

Основная идея метода заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологической модели, в которой каждый элемент системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая --- случайными множествами событий. Затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.

Двудольное множество случайных событий

Двудольное множество случайных элементов

Множество случайных элементов $\{\xi,K\}$, представимое в виде объединения двух этих долей, будем называть двудольным множеством случайных элементов. Двудольное множество случайных элементов представимо в следующем виде:

$\{\xi, K\}= \xi\bigcup K = \{\xi_{a}, a \in A, K_{\beta}, \beta \in B\}$.

Двудольное множество случайных событий

В [1] предложено двудольному множеству случайных элементов $\{\xi,K\}$ поставить в соответствие двудольное множество случайных событий:

$\{\xi, K\}\Rightarrow\{\mathcal{Y}, \mathfrak{X}\}$.

Двудольное множество случайных событий представляет собой объединение двух множеств: множества событий, которое определяется случайными величинами, и множества событий, которое определяется случайными множествами событий:

$\{\mathcal{Y},\mathfrak{X}\}=\{\mathcal{Y}_a,\mathfrak{X}_\beta, a\in A,\beta\in B\}$.

Каждому показателю (как из первой, так и из второй доли) ставится в соответствие множество всех возможных событий-террасок, связанных с ним. Задавая вероятности по каждому событию-терраске, мы можем полностью охарактеризовать поведение элемента системы относительно данного показателя. Для оценивания поведения необходимо иметь статистику по всем показателям за некоторый период времени. Чем больше наблюдений было проведено, тем точнее мы сможем оценить поведение элемента системы.

Метод двудольных множеств случайных событий

Сложная система представляется как совокупность большого числа элементов, обладающая сложной структурой зависимостей между ними. Поэтому поведение всей системы определяется поведением каждого его элемента.

Предлагается представить случайные события, характеризующие поведение каждого элемента системы, в виде двудольного множества случайных событий: множества событий, которое определяется случайными величинаим, и множества событий, которое определяется случайными множествами событий.

На практике одной из наиболее востребованных задач системного анализа является задача нахождения экстремального элемента системы.

Введем понятие идеального "наилучшего" и идеального "наихудшего" эментов системы.

Пусть $s^{+}=\{\mathcal{Y}^{+}, \mathfrak{X}^{+}\}$ --- двудольное множество событий, характеризующих поведение идеального "наилучшего" элемента системы (т.е. элемента, все показатели которого имеют наилучшие значения), $s^{-}=\{\mathcal{Y}^{-},\mathfrak{X}^{-}\}$ --- двудольное множество событий, характеризующих поведение идеального "наихудшего" элемента ( все показатели которого имеют наихудшие значения).

Зная Э-распределения двудольных множеств случайных событий можно производить любые действия над ними с помощью вводимых сет-операций по Минковскому.

Произвольной сет-операцией по Минковскому над двумя двудольными множествами событий $s^{1}, s^{2}$ называется теоретико-множественная операция, которая представляется как множество событий, полученных с помощью операций по Минковскому над соответствующими событиями из каждой доли: $s^{1}(\mathcal O)s^{2}= \{\mathcal Y^{1}_{a}(\mathcal O)\mathcal Y^{2}_{a}, \mathfrak{X}^{1}_{\beta}(\mathcal O)\mathfrak{X}^{2}_{\beta}, a\in A, \beta \in B \}$

Сет-операция симметрической разности по Минковскому двух двудольных множеств событий $s^{1}, s^{2}$ определяется следующим образом: $s^{1}(\Delta)s^{2}= \{\mathcal Y^{1}_{a}(\Delta)\mathcal Y^{2}_{a}, \mathfrak{X}^{1}_{\beta}(\Delta)\mathfrak{X}^{2}_{\beta}, a\in A, \beta \in B \}$.

Вероятность симметрической разности равна

${\bf P}(s^{1}(\Delta )s^{2})=\frac{1}{|A|}\sum_{a\in A} \frac{1}{|\mathcal Y_{a}|} \sum_{r_{a} \in {\cal R}_{a}}{\bf P}(\mathcal Y^{1}_{a}(r_{a})\Delta\mathcal Y^{2}_{a}(r_{a}))+ \frac{1}{|B|}\sum_{\beta \in B}\frac{1}{|\mathfrak{X}_{\beta}|}\sum_{X_{\beta}\subseteq \mathfrak{X}_{\beta}}{\bf P}(X^{1}_{\beta}\Delta X^{2}_{\beta})$

В [1] было показано, что вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому двух двудольных множеств событий является псевдометрикой между ними, поэтому можно применять ее для измерения расстояния между двудольными множествами событий.

Применение метода к решению задач системного анализа

Метод двудольных множеств случайных событий позволяет решать задачи системного анализа. Например, с помощью этого метода решена задача ранжирование районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения.

Красноярский край является примером сложной системы, поведение которой описывается большим числом возможных событий и сложной структурой взаимодействия.

Красноярский край предлагается рассматривать как сиситему, состоящую из районов края. Решение основано на двудольной эвентологической модели здоровья населения края, в которой состояние здоровья населения каждого раойна характеризуется двудольным множеством случайных событий $\{\mathcal{Y}, \mathfrak{X}\}$.

Исследование влияния антропогенного загрязнения воздуха на заболеваемость населения районов Красноярского края с помощью метода двудольных множеств событий заключается в сравнении эвентологических распределений двудольных множеств событий идеального и реальных районов с помощью сет-операции симметрической разности по Минковскому.

Для каждого района нужно найти расстояния до идеального "наилучшего" и идеального "наихудшего" раойнов по формулам:

${\bf P}(s^{-}(\Delta)s^{i})=\frac{1}{|A|}\sum_{a\in A}\frac{1}{|\mathcal{Y}_{a}|} \sum_{j=1}^{N_{a}}{\bf P}\Bigl(((\mathcal{Y}^{-}_{a}(r_{a_{j}})-\mathcal{Y}^{-}_{a}(r_{a_{j-1}})) \Delta(\mathcal{Y}^{i}_{a}(r_{j})-\mathcal{Y}^{i}_{a}(r_{a_{j-1}}))\Bigr)+$

$+\frac{1}{|B|}\sum_{\beta\in B}\frac{1}{|\mathfrak{X}_{\beta}|} \sum_{X_{\beta}\subseteq \mathfrak{X}_{\beta}}{\bf P}(X^{-}_{\beta}\Delta X^{i}_{\beta})$

${\bf P}(s^{+}(\Delta)s^{i})=\frac{1}{|A|}\sum_{a\in A}\frac{1}{|\mathcal{Y}_{a}|}\sum_{j=1}^{N_{a}}{\bf P}\Bigl(((\mathcal{Y}^{+}_{a}(r_{a_{j}})-\mathcal{Y}^{+}_{a}(r_{a_{j-1}})) \Delta(\mathcal{Y}^{i}_{a}(r_{j})-\mathcal{Y}^{i}_{a}(r_{a_{j-1}}))\Bigr)+$

$+\frac{1}{|B|}\sum_{\beta\in B}\frac{1}{|\mathfrak{X}_{\beta}|} \sum_{X_{\beta}\subseteq \mathfrak{X}_{\beta}}{\bf P}(X^{+}_{\beta}\Delta X^{i}_{\beta})$.

Для каждого района эти два полученных значения пронормируем таким образом, чтобы их сумма была равна 1.

Обозначим

$\frac{{\bf P}(s^{+}(\Delta) s^{i})}{{\bf P}(s^{+}(\Delta) s^{i})+ {\bf P}(s^{-}(\Delta )s^{i})}=r_{i}^{+}$

$\frac{{\bf P}(s^{-}(\Delta) s^{i})}{{\bf P}(s^{+}(\Delta) s^{i})+ {\bf P}(s^{-}(\Delta )s^{i})}=r_{i}^{-}$.

Для проведения ранжирования достаточно выбрать одно из этих расстояний.

Литература

• [1] Воробьев, О.Ю. Метод двудольных множеств событий в эвентологическом анализе сложных систем: монография / О.Ю. Воробьев, Баранова, И.В.; отв.ред.серии О.Ю.Воробьев. — Красноярск: Институт естественных и гуманитарных наук. 2007. — 132с. (Серия "Эвентология риска")

См. также

• Задача определения оптимального кредитного продукта для потребителя
• Классификация районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения
• Ранжирование районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения
• Метод двудольных множеств случайных событий
• Факторный анализ показателей положения и репутации банков
• Ранжирования договоров долгосрочного страхования жизни

Внешние ссылки

• сайт по эвентологии
• статья «Метод двудольных множеств событий в факторном анализе разнотипных данных» (в формате word)