Метод критических линий для решения задачи Марковица

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Метод критических линий — это метод нахождения всего эффективного фронта пули Марковица; Гарри Марковиц предложил его в 1959 г.; позже, в 1970 г. был усовершенствован Шарпом; позволяет найти эффективную границу, решив лишь конечное число задачу квадратичного программирования, при чем полученное решение совершенно точно, в отличие от решений, найденных численным приближением.

Постановка классической задачи Марковица

Найти распределение долей капитала в допустимом портфеле $y\in\Delta^n$, которое соответствует фиксированному уровню ожидаемой доходности ${\bf E}\rho(y)$ и минимизирует риск портфеля ${\bf D}\rho(y)$

$\left\{ \begin{array}{l} {\bf D} \rho(y)=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1} y_i y_j cov(\rho_i, \rho_j)\stackrel{\rightarrow}{}\min_{\bf y} \\ \\ {\bf E} \rho(y)=\sum^{n}_{i=1} y_i {\bf E}\rho_i = E^*\\ \\ \sum^{n}_{i=1} y_i=1, \end{array} \right.$

где $\Delta^n=\left\{y=(y_1, y_2, \dots, y_n) | \sum^{i=1}_{n} y_i=1, y_i\geq0, \forall i=1, \dots, n\right\}$- это множество допустимых портфелей;

$\rho (y)=\sum^{n}_{i=1}=1$- это доходность портфеля.

Решение классической задачи Марковица

Эффективный фронт на плоскости $(E,D)$

Для удобства введем обозначения: ${\bf E} \rho(y_i)=E_i, cov(\rho_i, \rho_j)=cov_{ij}$

Рассмотрим плосткость $(E,D)$. На ней, как и на плосткости $(E,\sigma)$, эффективный фронт является кривой, выпуклой вверх.

Рассмотрим на введенной плоскости прямые:

$-\lambda E+D=a,$

где $\lambda \geq 0 a\in {\bf R}$

При каждом фиксированном $\lambda$, выбираем $a$ минимальное из всех $a$, при которых на прямой $-\lambda E+D=a$ есть точка с координатами $(E_0,D_0)$, принадлежащая эффективному фронту.

Рис. 1. Эффективный фронт и семейство прямых для некоторого фиксированного лямбда

Рис. 2. Эффективный фронт и соприкасающиеся с ним прямые

При изменении $\lambda$ от $0$ до $\infty$ точка соприкосновения описывает весь эффективный фронт

Таким образом, надо найти набор чисел, определяющий один из эффективных портфелей, такой, что

$-\lambda \sum^{n}_{j=1}y_j E_j + \sum^{n}_{j=1}\sum^{n}_{i=1}y_i y_j cov_{ij} \stackrel{\rightarrow}{} min$

который удовлетворяет условиям

$\sum^{n}_{i=1} y_i = 1, ~~ y_i\geq0, ~~ i=1, \dots, n$

Метод критических линий для построения эффективного фронта

Метод критических линий основан на теореме Куна-Таккера

ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА

$n$- мерный вектор ${\bf y^*} \in \Delta^n$ является решением задачи квадратичного программирования тогда и только тогда, когда сущесвует $m$- мерный вектор ${\bf u^*}$ такой, что:

$\frac{\partial L}{\partial y_i}({\bf y^*}, {\bf u^*})\geq 0, ~~~ \forall i=1, \dots, n$ ${\bf y^*}\frac{\partial L}{\partial y_i}({\bf y^*}, {\bf u^*})=0, ~~~ \forall i=1, \dots, n$

где $\frac{\partial L}{\partial y_i}({\bf y^*}, {\bf u^*})=-\lambda \sum^{n}_{i=1} y_i E_i + \sum^{n}_{i=1} \sum^{n}_{j=1} y_i y_j cov_{ij} + \sum^{n}_{k=1} u_k ( b_k - - \sum^{n}_{i=1} a_{ik} y_i )$

Рассмотрим функцию $y_1(\lambda), y_2(\lambda), \dots, y_n(\lambda)$. Установлено, что каждая из этих функций является непрерывной кусочно-линейной функцией.

Те точки $\lambda$, в которых какая-либо из функций $y_i(\lambda)$ испытывает разрыв производной, называется угловыми точками. в число угловых точек также включается точка $\lambda=0$

Предположим, что мы знаем для функции $y_i(\lambda), ~~~ i=1, \dots, n$ в двух соседних угловых точках $\lambda_1, \lambda_2$ их значения $y_i(\lambda_1), y_i(\lambda_2)$. Тогда мы можем определить оптимальные портфели , отвечающие всем $\lambda\in (\lambda_1, \lambda_2)$ по формуле:

$y_i(\lambda)=\frac{\lambda_2 - \lambda}{\lambda_2-\lambda_1}y_i(\lambda_1) - \frac{\lambda - \lambda_1}{y_i(\lambda_2), ~~~ i=1, \dots, n}$

Таким образом, для нахждения эффективного фронта необходимо знать набор $y_1(\lambda), y_2(\lambda), \dots, y_n(\lambda)$ лишь для угловых точек

Из теоремы Куна-Таккера имеет место:

$sum^{n}_{j-1}2cov_{ij}y_j - \sum^{m}_{k=1}a_{ik}u_k=\lambda E_i, ~~~ i=1, \dots, n$ $\sum^{n}_{i=1}a_{ik}y_i=b_{ik}, ~~~ k=1, \dots, m$

Алгоритм метода критических линий

1. Решение СЛАУ:

$\sum^{n}_{j-1}2cov_{ij}y_j - u_1=\lambda E_i, ~~~ i=1, \dots, n$ $\sum^{n}_{i=1}a_{ik}y_i=b_{ik}, ~~~ k=1, \dots, m$

Решение:

$y_i=\alpha_i + \beta_i \lambda, ~~~ i=1, \dots, n$ $u_1=\gamma_1 + \delta_1 \lambda$

2. Ищем портфель с минимальным стандартным отклонением:

$-\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=1}y_i y_j cov_{ij}\stackrel{\rightarrow}{}\min_y$ $\sum^{n}_{i=1}y_i=1,$ $y_i\geq 0, \forall i =1, \dots, n$

3. Ищем портфель с максимальным стандартным отклонением:

$\sum^{n}_{i=1} y_i E_i \stackrel{\rightarrow}{}\max_y$ $\sum^{n}_{i=1}y_i=1,$ $y_i\geq 0, \forall i =1, \dots, n$

4.Перебираем с некоторым шагом h неугловые $\lambda_0$ из интервала $(0, \lambda_{max})$. в качестве а берем наибольшую точку, меньшую $\lambda_0$, в которой либо:

$\alpha_i + \beta_i a=0$

либо:

$\xi_i + \nu_i a=0$

5. Восстанавливаем эффективную границу, зная все угловые точки, по вышеуказанной формуле.

Примеры

Пример1

Рис. 3.Эффективный фронт

$Cov = \left( \begin{array}{ccc} 7 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right)$ $E= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 10 & 3 \end{array} \right).$

Пример2

Рис. 4. Эффективный фронт

$Cov = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right)$ $E= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 10 & 3 \end{array} \right)$

Литература

• Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. -Москва: ГУ ВШЭ, 1999
• Кузнецов А.В. Сакович В.А. Холод Н.И. Математическое программирование. -Минск: "ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА", 1994

См.также

• Определение оптимального кредитного портфеля (прямая эвентологическая задача Марковица)
• Задача Марковица (пример)
• Портфельные инвестиции
• Представление тяжелых хвостов распределений в моделях финансового риска

Ресурсы в интернете

• Портфель Марковица на сайте «Финансовая математика»
• Автобиография Гарри Марковица на нобелевском сайте
• Статья Гарри Марковица "Portfolio Selection" в журнале "The Journal of Finance" 1952