Мода (в теории вероятностей)

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Мода (от лат. modus — мера, способ, правило) — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для случайной величины, имеющей плотность вероятностей $f(x)$ определяется как любая точка максимума $f(x)$; определяется и для распределений, не имеющих плотности: например мода дискретной случайной величины — любое её значение, имеющее вероятность, равную максимальной вероятности; иногда под модой случайной величины $\xi$ понимают точку, где достигается абсолютный максимум её плотности вероятности или вероятностей её значений — главное значение моды, обозначаемое ${\rm Mod}\xi$; менее употребительная характеристика распределения, чем математическое ожидание и медиана.

Распределения с одной, двумя или большим числом мод называются соответственно унимодальными (одновершинными), бимодальными или мультимодальными.

Унимодальные распределения

В теории вероятностей и математической статистике наиболее используемыми являются унимодальные распределения. Для унимодальных распределений, симметричных относительно некоторой точки $a$, мода равна $a$ и совпадает с медианой и математическим ожиданием, если последнее существует. Если распределение случайной величины $\xi$ унимодально и непрерывно, то для любого $\varepsilon > 0$

$\mathbf{P} \Big( |\xi-{\rm Mod}\xi| \geq \varepsilon \tau \Big) \leq \frac{4}{9 \varepsilon^2},$

где ${\rm Mod}\xi$ — мода случайной величины $\xi$, а $\tau^2 = {\rm E}|\xi-{\rm Mod}\xi|.$

Экстремальные свойства

Мода ${\rm Mod}\xi$ случайной величины $\xi$ минимизирует её среднее отклонение в дискретной метрике:

${\rm E} d(\xi,{\rm Mod}\xi) = \min_a {\rm E}d(\xi,a),$

где $d(a,b) = 0$, если $a = b$, и $d(a,b) = 1$, если $a \not= b.$

Литература

• Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.

См.также

• Медиана (в теории вероятностей)
• Математическое ожидание
• Теория вероятностей
• Неравенство Чебышёва (в теории вероятностей)

---

Статья основана на материалах Большой советской энциклопедии.