Модель Фоккера–Планка для прямоугольной комнаты с дверью

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Постановка задачи

Рассматривается прямоугольная область, разбитая на ячейки квадратной решёткой. По вертикали ячейки нумеруются с 1-ой по M-ую, по горизонтали с 1-ой по N-ую. Тем самым, мы рассматриваем конечную область квадратной решётки. С её помощью будем моделировать поведение толп. Для этого будем считать, что «человек» представляет собой частицу. Частица перемещается из ячейки в ячейку с какой-то вероятностью, возможно, скоррелированно и т.п. На одной из сторон k ячеек считаются выходом.

Вычислительная часть программы

Предполагаем, что вероятность каждой ячейки быть занятой $0<p_{i,j}<1$. На нулевом по времени шаге выбирается определенное число ячеек. (Можно задавать извне, с клавиатуры, а можно брать какую-то долю от общего числа ячеек) Выбранное количество ячеек случайным образом располагается в прямоугольной области и для каждой случайным образом задается значение $0<p_{i,j}<1$. Для остальных ячеек значения задаются равными нулю.

Кроме того, предполагаем, что

$\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{M}p_{i,j}=1$

. Модель будем рассматривать в дискретном времени. На каждом шаге по времени t вероятность ячейки быть занятой вычисляется по формуле:

$p_{i,j}^{t}=a_{i,j-1}p_{i,j-1}^{t-1}+a_{i,j+1}p_{i,j+1}^{t-1}+a_{i-1,j}p_{i-1,j}^{t-1}+a_{i+1,j}p_{i+1,j}^{t-1}-$

$-b_{i,j-1}p_{i,j}^{t-1}-b_{i,j+1}p_{i,j}^{t-1}-b_{i-1,j}p_{i,j}^{t-1}-b_{i+1,j}p_{i,j}^{t-1}+\lambda _{i,j}p_{i,j}^{t-1}+p_{i,j}^{t-1}$

где коэффициенты характеризуют вероятность попасть в ячейку i,j из соседних, $b_{i,j}$ характеризуют вероятность покинуть ячейку i,j в соседние, а $\lambda _{i,j}$ – множитель, характеризующий вероятность остаться на месте.

Способ задавать коэффициенты a, b

Предположим для простоты, что $a_{i,j-1}+a_{i,j+1}+a_{i-1,j}+a_{i+1,j}=1$ и $b_{i,j-1}+b_{i,j+1}+b_{i-1,j}+b_{i+1,j}=1$. Половину суммы можно отдавать на коэффициент, который отвечает за продвижение к выходу, причем как для $a_{i,j}$, так и для $b_{i,j}$. Из оставшихся трех коэффициентов четверть от остатка отдавать тому, который противоположен выходу, а остальное делить пополам между двумя остальными. Очевидно, что
$a_{i,0}=a_{i,N+1}=a_{0,j}=a_{M+1,j}=b_{i,0}=b_{i,N+1}=b_{0,i}=b_{M+1,j}=0$
Это условие обеспечивает граничные условия, то есть невозможность выхода за границы области. Для тех k ячеек, которые являются «выходом» соответствующие $b_{i,0},b_{i,N+1},b_{0,i},b_{M+1,j}$ , что обеспечивает выход из области, а $a_{i,0}=a_{i,N+1}=a_{0,j}=a_{M+1,j}$ остаются равными нулю, что обеспечивает невозвращение.
Коэффициенты $\lambda _{i,j}$ принимает значение больше нуля. Варьирование $\lambda _{i,j}$ моделировать подвижность частиц (или «ленивость»). После вычисления $p_{i,j}^{t}$ все значения нормируются на сумму вероятностей по всем ячейкам.

Результаты

Необходимо изучить устойчивые распределения вероятностей, мы хотим понять, каковы характерные времена (например, время полувыхода всех), вобщем всё, что можно понять про такой случайный процесс.

См. также

• Прямоугольная комната
• Модель Фоккера-Планка