Модель жизненного цикла

Модель жизненного цикла предполагает более широкий и общий взгляд на проблему потребления как на задачу межвременного выбора (!) или межвременной оптимизации. Предполагается, что в каждый данный период времени индивид определяет полезность программы потребления всей предстоящей жизни, поэтому величина полезности зависит от количества благ и услуг, потребляемых в каждом из периодов его жизненного цикла (еще не ставших историей).

Два периода жизненного цикла

Чтобы выяснить суть проблемы, достаточно предположить, что жизненный цикл человека разделен всего на два периода: настоящий (период 0) и будущий (период 1).

Пусть речь идет о Федоре. Его доход в настоящем периоде равен $I_0$, и у него есть представления о доходе будущем периоде, $I_1$.(Например, текущий период – это годы работы по найму, когда $I_0$ представляет собой заработную плату, а будущий период – это пенсионный период, когда доход Федора $I_1$ будет равен пенсии).

Потребление субъекта в настоящем и будущем периодах не всегда должно совпадать с величиной дохода в соответствующих периодах. Потребление в настоящем периоде, $C_0$ можно «обменять» на потребление в будущем периоде $C_1$ , сберегая часть текущего дохода и увеличивая за счет этого потребление будущего периода.

И наоборот, можно увеличить потребление текущего периода в обмен на уменьшение потребления будущего периода, занимая деньги в настоящем периоде и возвращая их с процентами из доходов будущего периода .

Возможность подобных замещений во времени необходимо принимать в расчёт, когда формулируем задачу межвременного выбора.

Принимая решение о величине потребления, Федор решает одновременно, как много следует ему сберегать и занимать. Если $(I_0-C_0)>0$, он сберегает сумму S, если $(I_0-C_0)<0$, то заимствует сумму B.

Анализ экономических показателей

Чтобы проанализировать принятие решения о предложении капитала, используем понятие бюджетного ограничения и “ кривых безразличия “.

Начнем с бюджетного ограничения в задаче межвременного выбора размеров потребления и сбережений. Такое ограничение показывает все доступные индивиду комбинации текущего и будущего потребления при заданных величинах $I_0$, $I_1$. Поскольку бюджетное ограничение в модели жизненного цикла отражает возможности замещения объемов потребления в разные периоды времени, его называют межвременным бюджетным ограничением.

На рисунке по горизонтальной оси измеряется объем текущего потребления Федора, $C_0$, а про вертикальной оси – объем будущего потребления, $C_1$. Исходная возможность для Федора – потреблять в точности доход соответствующего периода – отображена точкой А, характеризующая его представление о фонде доходов

в двух периодной модели жизненного цикла $I_0$, $I_1$. В этой точке $C_0=I_0$ и $C_1=I_1$. Очевидно, что линия, характеризующая межвременное бюджетное ограничение пройдет через эту точку. Но как?!..

Аналитическое представление межвременного бюджетного ограничения

Представим сначала межвременное бюджетное ограничение аналитически, предположив, что часть дохода настоящего периода, $I_0-C_0$, сберегается, что позволит Федору в будущем периоде увеличить потребление на сбереженную ранее сумму, а также на сумму процентов, начисленных на нее банком. Если процентная ставка равна $i$, то потребление Федора в будущем периоде можно записать, как

(1) $C_1=I_1+(I_0-C_0)+i(I_0-C_0)$

Или иначе, как

(1*)$C_1=I_1+(1+i)(I_0-C_0)$

Где второе слагаемое правой части представляет сбереженную в настоящем периоде сумму вместе с начисленными и выплаченными в будущем периоде на нее процентами. После простейших перестановок, формулу (1*) можно переписать в виде

(2) $C_1=[I_1+(1+i)I_0]-(1+i)C_0$

Данное уравнение представляет собой межвременное бюджетное ограничение домохозяйства. Оно характеризует отношение между потребительскими расходами настоящего и будущего периодов. Или, иначе, оно характеризует возможный компромисс между будущим, $C_1$ и настоящим $C_0$ потреблением.

Выражение (2) можно рассматривать как уравнение межвременной бюджетной прямой, $G$, проходящей через точку А на рисунке. Эта прямая, пересечет ординату, когда $C_0=0$, а весь доход настоящего периода будет обращен в сбережения. С другой стороны, положив (2.) $C_1=0$, мы можем определить точку пересечения межвременной бюджетной прямой с абсциссой:

(3) $C_0^{'}=\frac{I_1+(1+i)I_0}{1+i}=I_0+\frac{I_1}{1+i}$

Графическое представление межвременного бюджетного ограничения

Правая часть (3) характеризует настоящую ценность доходов (или как ее традиционно называют по-русски, приведенную) Федора в двух смежных периодах, т.е. в $I_0$, $I_1$.

Зная отрезки $OC_1^{'}$ и $C_0^{'}$, отсекаемые межвременной бюджетной прямой, G, на координатных осях, мы можем определить её абсолютный наклон:

(4) $\frac{OC_1^{'}}{OC_0^{'}}=\frac{[I_1+(1+i)I_0](1+i)}{I_1+(1+i)I_0}=1+i$

Наклон межвременной бюджетной прямой, как обычно, измеряет альтернативную ценность одного блага в терминах другого, в данном случае, текущего потребления в терминах будущего потребления. Потребление в настоящем периоде в размере 1руб. означает отказ от потребления в будущем периоде в размере $(1+i)$ руб., так что тношение изменения $C_1$ к изменению $C_0$ в точности даст $-(1+i)$, то есть $\frac{\Delta C_1}{\Delta C_0}=-(1+i)$

Поскольку точка пересечения бюджетной линии и горизонтальной оси показывает максимально возможный объем потребления в настоящем периоде (в двухпериодной модели предполагается, что занимать можно лишь столько, сколько возможно вернуть из будущего дохода), ее называют настоящей, или приведенной ценностью доходов двух периодов – $I_0$ и $I_1$. В приведенной ценности текущий доход оценивается рубль за рубль, а будущий – с дисконтом, то есть со скидкой в i процентов.

Практический смысл межвременного бюджетного ограничения

Наличие межвременного бюджетного ограничения означает, что индивид не должен жестко привязывать объем своего потребления в данном периоде к величине своего дохода в том же периоде. Если доход изменяется во времени, потребление не обязательно должно колебаться вслед за ним, потому что, сберегая в периоды высоких доходов и беря кредиты в периоды низких доходов, можно выровнять своё потребление во времени.

Например, в странах Запада выпускники Высших учебных заведений, получившие перспективную работу, склоны брать кредит для того, чтобы финансировать приобретение машины или других предметов длительного пользования, потому, что ожидают, что их доходы в будущем будут существенно выше, нежели заработки в настоящем. Степень, в которой отдельные люди склонны вовлекаться в подобное выравнивание потребления во времени зависит от их индивидуальных межвременных предпочтений.

Проблема выбора

Итак, у Федора есть множество доступных вариантов программы потребления во времени, которое представлено линией бюджетного ограничения (мы предполагаем, что Федор не расточает впустую никакой части своих доходов, поэтому точки, лежащие ниже линии G, мы не рассматриваем, как его возможный выбор). Федор должен выбрать наилучшую точку на бюджетной прямой. Чтобы описать этот выбор, мы должны представить предпочтения Федора в отношении текущего и будущего потребления в виде карты безразличия.

Предельная норма предпочтения во времени

Мы можем рассматривать $C_0$ и $C_1$ (настоящее и будущее потребление) как два составных потребительских товара, поэтому естественно предположить существование убывающей предельной нормы замещения между ними. Кривые безразличия, удовлетворяющие такому предложению, изображены на (рис.1). Они вогнуты в сторону начала координат. Поскольку больший объем потребления в любом из периодов предпочитается меньшему, кривые безразличия, расположенные выше и правее соответствуют бОльшим уровням полезности. Предельная норма замещения между $C_0$ и $C_1$ характеризует интенсивность индивидуальных предпочтений в отношении потребления в различные периоды. Поэтому её называют предельной нормой предпочтения во времени (MRTP; marginal rate of time preference – англ.).

(5)$MRTP=-\frac{\Delta C_0}{\Delta C_1}|_{U=U_0}$

Тех, кто предпочитает настоящее потребление будущему, можно назвать нетерпеливыми. Однако при достаточно малом объме текущего потребления в сравнении с объемом будущего потребления у большинства людей предельная норма предпочтения во времени будет высокой (обычно кривые безразличия на своих левых верхних участках имеют крутой наклон). Поэтому, чтобы классифицировать потребителей по степени нетерпеливости, следует поинтересоваться их предельными нормами предпочтения во времени при условии равенства объемов настоящего и будущего потребления.

Рассмотрим на кривой безразличия $U_0$ (рис. 1) точку $Z$, которая лежит на луче, проведенном из начала координат под углом 45’. В этой точке текущее потребление в точности будет равно потреблению будущему. Заметим, что предельная норма предпочтения в точке $Z$ у данного потребителя больше единицы. Следовательно, когда его настоящее и будущее потребления равны, нужно увеличить будущее потребление данного субъекта более, чем на 1 руб., чтобы он отказался от текущего потребления тоже на 1 руб. Такого потребитель можно назвать нетерпеливым: его предельная норма предпочтения во времени на луче, проходящем под углом 45’, больше единицы.

Оптимальная программа потребления

Равновесие (оптимальная программа) потребления определяется, как всегда, из требования максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении. На рис.2 изображены бюджетное ограничение Федора и его карта безразличия (сплошные кривые). Федор достигает максимума полезности в точке S. В этой точке кривая безразличия касается бюджетной линии, следовательно, MRTP=1+i, где i – процентная ставка , по которой возможно давать и брать деньги в кредит.

В равновесии текущее потребление Федора $C_0^s$ меньше текущего дохода $I_0$, а будущее потребление $C_1^s$ больше будущего дохода $I_1$. Следовательно, Федор является кредитором (заимодавцем).

Пусть Трифон наделен такими же доходами в настоящем и будущем, как и Федор , и пользуется той же ставкой процента на финансовом рынке. Но карта безразличия у Трифона другая, она представлена на рис. 2 прерывистыми кривыми. Равновесие Трифона характеризуется точкой t, он берет взаймы в настоящем периоде и сокращает потребляемую часть в доходе будущего периода. Он, в отличии от Федора, является заемщиком.