Нера́венство Йе́нсена — неравенство для выпуклой функции среднего случайной величины.
Формулировка[]
Пусть
— вероятностное пространство, и
— определённая на нём случайная величина.
Пусть также
— выпуклая (вниз) борелевская функция.
Тогда если
, то
,
где
означает математическое ожидание.
Замечание[]
- Если функция
вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
Конечномерный вариант[]
Предположим, что
имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

Тогда неравенство Йенсена принимает вид:
.
Следствия[]
- Неравенство Гиббса в теории информации;
- Теорема Рао — Блекуэлла — Колмогорова в математической статистике.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания[]
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше,
— под-σ-алгебра событий. Тогда
,
где
обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры
.