Нечёткая логика

Нечеткая логика и теория нечетких множеств являются обобщениями классической логики и теории множеств. Понятие нечеткой логики было впервые введено профессором Лотфи Заде в 1965 г.

Направления исследований нечеткой логики[]

В настоящее время существует по крайней мере два основных направления научных исследований в области нечеткой логики:

Нечеткая логика в широком смысле (Теория приближенных вычислений)
Нечеткая логика в узком смысле (Символическая нечеткая логика)

Математические основы[]

Символическая нечеткая логика[]

Символическая нечеткая логика основывается на понятии t-нормы. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над пропозициональными переменными: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие. Нетрудно доказать теорему о том, что дистрибутивность, присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается t-норма Гёделя. Кроме того, в силу определенных причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую residium (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы). Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению базисной нечеткой логики, которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с исчислением высказываний). Существуют три основных базисных нечетких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и вероятностная логика (Product logic). Интересно, что объединение любых двух из трех перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

Теория приближенных вычислений[]

Основное понятие нечеткой логики в широком смысле - нечеткое множество, определяемое при помощи обобщенного понятия характеристической функции. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечеткого отношения, а также одно из важнейших понятий - понятие лингвистической переменной. Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечеткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и правило вывода (и оператор импликации).

Примеры[]

Нечеткое множество, содержащее число 5. Нечеткое множество, содержащее число 5, можно задать, например, такой характеристической функцией: $\mu_A \left( x \right) = \left( 1+\left| x - 10 \right| ^ n \right) ^{-1}$

Пример определения лингвистической переменной В обозначениях, принятых для лингвистической переменной:

X = "Температура в комнате"
U = [5, 35]
T = {"холодно", "комфортно", "жарко"}

Характеристические функции:

$\mu_{cold} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u+10}{7} \right) ^{12} }$
$\mu_{ok} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-20}{3} \right)^{6} }$
$\mu_{hot} \left( u \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{u-30}{6} \right)^{10} }$