Норма (в математике)

Норма (лат. norma — руководящее начало, правило образец) — обобщение понятия абсолютной величины числа; например, нормой трёхмерного вектора $x$ называют его длину $\| x \|$, нормой матрицы $A$ — число $\sup \|Ax\|/\|x\|$.

Нормой $\| x \|$ элемента $x$ векторного пространства $X$ называется отображение $x \to \| x \|$ векторного пространства $X$ над полем действительных или комплексных чисел в совокупность действительных чисел, подчинённое условиям:

• $\| x \| \geq 0$, причем $\| x \|=0$ только при $x = 0$;
• $\| \lambda x \| = \lambda \|x\|$ для каждого скаляра $\lambda$;
• $\| x +y \| \leq \| x\|+\|y\|$ для всех $x,y \in X$ (аксиома треугольника).

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством. С помощью нормы в нормированном векторном пространстве можно определитьнорму для линейных функционалов $f(x)$ по формуле

$\|f\| = \sup \frac{|f(x)|}{\|x\|}$

и для линейных операторов $A$ по формуле

$\|f\| = \sup \frac{\|Ax\|}{\|x\|}.$

Нормированием называется отображение $\varphi$ поля $K$ в множество $\R$ действительных чисел, удовлетворяющее условиям:

1. $\varphi(x) \geq 0$ и $\varphi(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x = 0$;
2. $\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)$;
3. $\varphi(x+y) \leq \varphi(x)+\varphi(y)$.

Такое отображение называется также нормой или вещественным абсолютным значением.

См.также

• Норма числа