Операции над множествами

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Операции над множествами, теоретико-множественные операции, сет-операции — операции над множествами, результатами которых также являются множества; над $N$ множествами можно сделать $2^{2^N}$ различных сет-операций; наиболее распространёнными сет-операциями являются дополнение, объединение, пересечение, разность и симметрическая разность множеств.

Операции над множествами

• объединение двух множеств $X$ и $Y$ и совокупности множеств $\mathcal{A}$:

$X \cup Y = \left\{x : x \in X\right.$ или $\left. x \in Y\right\}, \ \ \ \bigcup_{X \in \mathcal{A}} X = \left\{x : \bigvee_{X \in \mathcal{X}} (x \in X)\right\}$

• пересечение двух множеств $X$ и $Y$ и совокупности множеств $\mathcal{A}$:

$X \cap Y = \left\{x : x \in X\right.$ и $\left. x \in Y\right\}, \ \ \ \bigcap_{X \in \mathcal{A}} X = \left\{x : \bigwedge_{X \in \mathcal{X}} (x \in X)\right\}$

• разность:

$X \setminus Y = \left\{x : x \in X\right.$ и $\left. x \notin Y\right\}$

• симметрическая разность двух множеств $X$ и $Y$ и совокупности множеств $\mathcal{A}$:

$X\Delta Y = \left(X\cup Y\right) - \left(X\cap Y\right), \ \ \ \mathop{\Delta}_{X \in \mathcal{A}} X = \left\{ x: \sum_{X \in \mathcal{A}} 1_X(x) = 1 \ ({\rm mod} \ 2 )\right\}$

• дополнение до множества $\mathfrak{X}$:

$X^c = \mathfrak{X}-X=\left\{x \in \mathfrak{X} : x \notin X\right\}$

• декартово или прямое произведение двух множеств $X$ и $Y$ и совокупности множеств $\mathcal{A}=\{X_1,\ldots,X_n\}$:

$X \times Y = \left\{ (x,y) : x \in X, y \in Y \right\}, \ \ \ \bigotimes_{i=1}^n X_i = \left\{(x_1,\ldots,x_n) : x_i \in X_i, i=1,\ldots,n \right\}$

Отношения между множествами

Отношение равенства

Два множества называются равными

$X = Y,$

если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Отношение включения

Множество $X$ содержится во множестве $Y$ (множество $Y$ включает множество $X$), если каждый элемент $X$ принадлежит $Y$:

$X \subseteq Y \Longleftrightarrow (x \in X \Rightarrow x \in Y)$.

В этом случае $X$ называется подмножеством $Y$, $Y$ — надмножестом $X$. Если $X \subset Y$ и $X \neq Y$, то $X$ называется собственным подмножеством $Y$; любое множество $X$ содержит в качестве подмножества себя: $X \subseteq X$ и пустое множество: $\emptyset \subseteq X$.

Диаграммы Венна

Для визуализации отношений между множествами и операций над множествами обычно используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над множествами точек как над геометрическими фигурами на плоскости.

См.также

• Дополнение множества
• Объединение множеств
• Пересечение множеств
• Разность множеств
• Симметрическая разность множества[