Каждое натуральное число представляется в виде , где суть простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Основная теорема арифметики/рамка
Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».
Как следствие, каждое натуральное число единственным образом представимо в виде , где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.
Следствия теоремы[]
Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Доказательство[]
Доказательство основной теоремы арифметики опирается на так называемую лемму Евклида:
Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x·y, то p делит x или y.
Основная теорема арифметики/рамка
Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n/p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.