Наиболее совпадающие события не обязательно наименее отличаются,
который на эвентологическом языке звучит так:
Пара событий, имеющих наибольшую вероятность пересечения среди пар событий, выбранных из некоторого множества событий, не обязана иметь еще и наименьшую среди тех же пар событий вероятность симметрической разности.
Действительно, пусть
— произвольное конечное множество -измеримых событий вероятностного пространства , из которого выбираются пары событий ;
выбранные пары образуют некоторое произвольное подмножество .
Тогда, если
— наибольшую вероятность пересечения имеет пара событий , и
— наименьшую вероятность симметрической разности имеет пара событий , то, в общем случае, .
Пример[]
Для иллюстрации парадокса рассмотрим триплет событий . Множество всех дуплетов из в данном случае есть множество .
Диаграмма Венна для триплета событий {x,y,z} из примера с указанием событий-террасок и их вероятностей
Эвентологическое распределение задается таблицей:
Подмножества событий
Вероятности соответствующих событий-террасок
0,1
0,2
0,1
0,1
0,3
0,1
0,1
0
Вероятности парных пересечений и симметрических разностей:
Дуплеты из
Вероятности совпадения
Вероятности различия
0,2
0,5
0,2
0,7
0,3
0,6
Очевидно, максимальное совпадение достигается в данном случае дуплетом событий а минимального различия — дуплетом .
Эвентологическое распределение дуплета событий[]
Как известно, эвентологическое распределение дуплета событий можно задать с помощью трех независимых параметров, которыми, например, могут служить
вероятность пересечения (совпадения) , вероятность симметрической разности (различия) и парная ковариация , связанные с вероятностями событий
соотношениями:
.
Фазовая плоскость[]
Эвентологическая фазовая плоскость — плоскость для отображения эвентологического симплекса распределений дуплета событий служит полезным инструментом для визуализации изменения вероятностей совпадения и различия дуплета событий при фиксированной парной корреляции Фреше, а также при изменении самой корреляции Фреше в пределах стандартного интервала .
Для любого эвентологического распределения дуплета событий его проекция на фазовую плоскость представляет собой одну точку внутри или на границе треугольника: .
Проиллюстрируем это на вершинах, ребрах и гранях симплекса .
Значения вероятностей соответствуют всем -м возможным терраскам:
.
Вершины[]
{1,0,0,0}, . На фазовой плоскости это будет точка (0,0).
{0,1,0,0} и {0,0,1,0}, либо . На фазовой плоскости это будет точка (0,1).
{0,0,0,1}, . На фазовой плоскости это будет точка (1,0).
Ребра[]
Всего у 3-симлекса будет ребер, для них, при :
{a,1-a,0,0} и {a,0,1-a,0}. На фазовой плоскости это точки вида (0;1-a), то есть отрезок .
{a,0,0,1-a}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a;0), то есть отрезок .
{0,a,1-a,0}. На фазовой плоскости это одна точка (0;1).
{0,a,0,1-a} и {0,0,a,1-a}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a;a), то есть отрезок прямой .
Грани[]
Всего у 3-симлекса будет грани, для них, при :
{a,b,1-a-b,0}. На фазовой плоскости это точки вида (0;1-a), то есть отрезок .
{a,b,0,1-a-b} и {a,0,b,1-a-b}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a-b;b), то есть отрезок прямой .
{0,a,b,1-a-b}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a-b;a+b), то есть отрезок прямой .
Фазовая плоскость для отображения всего эвентологического симплекса S3 дуплета событий {x,y}
Если учесть, что
, то
.
То есть каждое эвентологическое распределение дуплета {x,y} из симплекса распределений , проецируемого на фазовую плоскость [u,w] представляет собой одну точку, попадающую в треугольник (включая его границы, см.рис).
Отображение на фазовой плоскости предельных распределений дуплета событий[]
Рассмотрим три случая:
1) x и yне пересекаются, т.е. и
— на фазовой плоскости при любых значениях вероятностей моноплетов это будет прямая
В остальных двух случаях
2) вложенные события, и
3) x и yнезависимы, т.е. и
— на фазовой плоскости при любых значениях вероятностей моноплетов точки будут заполнять треугольную область, приведенную на рисунке (для второго случая это прямые вида w=a-u; для третьего — w=b-2u; прямые с разным угловым коэффициентом).
Эллипс[]
В предположении, что дуплеты событий выбираются из множества событий, определяемого эллиптической моделью эвентологического креста Маршалла, соответствующие им точки фазовой плоскости попадут внутрь эллипса «совпадение — различие» со смещенным центром и повернутого на некоторый угол. Параметры этого эллипса — смещение и угол, являются функциями этих эвентологических распределений дуплетов событий .