Наука
Advertisement
Ивентология Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Мерой совпадения двух событий считается вероятность их пересечения, а мерой различия — вероятность их симметрической разности.

Парадокс[]

Существует парадокс:

« Наиболее совпадающие события не обязательно наименее отличаются, »

который на эвентологическом языке звучит так:

« Пара событий, имеющих наибольшую вероятность пересечения среди пар событий, выбранных из некоторого множества событий, не обязана иметь еще и наименьшую среди тех же пар событий вероятность симметрической разности. »

Действительно, пусть

  1. — произвольное конечное множество -измеримых событий вероятностного пространства , из которого выбираются пары событий ;
  2. выбранные пары образуют некоторое произвольное подмножество .

Тогда, если

— наибольшую вероятность пересечения имеет пара событий , и

— наименьшую вероятность симметрической разности имеет пара событий , то, в общем случае, .

Пример[]

Для иллюстрации парадокса рассмотрим триплет событий . Множество всех дуплетов из в данном случае есть множество .


Файл:Events-terraces-paradox.jpg

Диаграмма Венна для триплета событий {x,y,z} из примера с указанием событий-террасок и их вероятностей

Эвентологическое распределение задается таблицей:

Подмножества событий
Вероятности
соответствующих событий-террасок
0,1
0,2
0,1
0,1
0,3
0,1
0,1
0

Вероятности парных пересечений и симметрических разностей:

Дуплеты из
Вероятности совпадения
Вероятности различия
0,2
0,5
0,2
0,7
0,3
0,6

Очевидно, максимальное совпадение достигается в данном случае дуплетом событий а минимального различия — дуплетом .

Эвентологическое распределение дуплета событий[]

Как известно, эвентологическое распределение дуплета событий можно задать с помощью трех независимых параметров, которыми, например, могут служить вероятность пересечения (совпадения) , вероятность симметрической разности (различия) и парная ковариация , связанные с вероятностями событий

соотношениями:

.

Фазовая плоскость[]

Эвентологическая фазовая плоскость — плоскость для отображения эвентологического симплекса распределений дуплета событий служит полезным инструментом для визуализации изменения вероятностей совпадения и различия дуплета событий при фиксированной парной корреляции Фреше, а также при изменении самой корреляции Фреше в пределах стандартного интервала .

Для любого эвентологического распределения дуплета событий его проекция на фазовую плоскость представляет собой одну точку внутри или на границе треугольника: .

Проиллюстрируем это на вершинах, ребрах и гранях симплекса . Значения вероятностей соответствуют всем -м возможным терраскам: .

Вершины[]

  • {1,0,0,0}, . На фазовой плоскости это будет точка (0,0).
  • {0,1,0,0} и {0,0,1,0}, либо . На фазовой плоскости это будет точка (0,1).
  • {0,0,0,1}, . На фазовой плоскости это будет точка (1,0).

Ребра[]

Всего у 3-симлекса будет ребер, для них, при :

  • {a,1-a,0,0} и {a,0,1-a,0}. На фазовой плоскости это точки вида (0;1-a), то есть отрезок .
  • {a,0,0,1-a}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a;0), то есть отрезок .
  • {0,a,1-a,0}. На фазовой плоскости это одна точка (0;1).
  • {0,a,0,1-a} и {0,0,a,1-a}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a;a), то есть отрезок прямой .

Грани[]

Всего у 3-симлекса будет грани, для них, при :

  • {a,b,1-a-b,0}. На фазовой плоскости это точки вида (0;1-a), то есть отрезок .
  • {a,b,0,1-a-b} и {a,0,b,1-a-b}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a-b;b), то есть отрезок прямой .
  • {0,a,b,1-a-b}. На фазовой плоскости это точки вида (1-a-b;a+b), то есть отрезок прямой .

Любые точки 3-симплекса[]

Файл:Фазовая плоскость.png

Фазовая плоскость для отображения всего эвентологического симплекса S3 дуплета событий {x,y}

Если учесть, что

, то
.

То есть каждое эвентологическое распределение дуплета {x,y} из симплекса распределений , проецируемого на фазовую плоскость [u,w] представляет собой одну точку, попадающую в треугольник (включая его границы, см.рис).

Отображение на фазовой плоскости предельных распределений дуплета событий[]

Рассмотрим три случая:

1) x и y не пересекаются, т.е. и

— на фазовой плоскости при любых значениях вероятностей моноплетов это будет прямая

В остальных двух случаях

2) вложенные события, и

3) x и y независимы, т.е. и

— на фазовой плоскости при любых значениях вероятностей моноплетов точки будут заполнять треугольную область, приведенную на рисунке (для второго случая это прямые вида w=a-u; для третьего — w=b-2u; прямые с разным угловым коэффициентом).

Эллипс[]

В предположении, что дуплеты событий выбираются из множества событий, определяемого эллиптической моделью эвентологического креста Маршалла, соответствующие им точки фазовой плоскости попадут внутрь эллипса «совпадение — различие» со смещенным центром и повернутого на некоторый угол. Параметры этого эллипса — смещение и угол, являются функциями этих эвентологических распределений дуплетов событий .

См.также[]

Advertisement