Пирсона распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Пирсона распределение, Пирсона кривые — семейство непрерывных распределений вероятностей (распределений Пирсона), плотности которых $p(x)$ удовлетворяют дифференциальному уравнению $\frac{dp(x)}{dx}=\frac{x-a}{b_0 + b_1x + b_2 x^2}p(x)$, где параметры $a, b_0, b_1, b_2$ — действительные числа. Более точно, кривыми Пирсона называются графики зависимости $p(x)$ от $x$. Распределения, являющиеся решениями этого уравнения, совпадают с предельными формами гипергеометрического распределения.

Классификация

Кривые Пирсона классифицируются в зависимости от характера корней уравнения $b_0 + b_1x + b_2 x^2$. Семейство кривых Пирсона составляют 12 типов и нормальное распределение. Многие важнейшие распределения в математической статистике могут быть получены с помощью преобразований из уравнения выше.

Систематическое описание типов кривых Пирсона дано У. Элдертоном (W. Elderton, 1938). В упрощенном виде классификация по типам такова.

Тип I: $p(x) = k (1+\frac{x}{a_1})^{m_1}) (1-\frac{x}{a_2})^{m_2}), -a_1 \leq x \leq a_2, m_1>-1, m_2>-1$; частный случай — бета-распределение 1ого рода.

Тип II: $p(x) = k (1-\frac{x^2}{a^2})^m), -a \leq x \leq a, m \geq -1$ (вариант кривых Пирсона типа I); частный случай — равномерное распределение.

Тип III: $p(x) = k (1+\frac{x}{a})^{\mu a} e^{-\mu x}, -a \leq x \leq \infty, \mu > 0, a > 0$; частные случаи — гамма-распределение и хи-квадрат-распределение.

Тип IV: $p(x) = k (1+\frac{x^2}{a^2})^{-m} e^{-\mu arctg(\frac{x}{a})}, -\infty \leq x \leq \infty, a > 0, \mu > 0$.

Тип V: $p(x) = kx{-q} e^{-\frac{\alpha}{x}}, 0 \leq x < \infty, \alpha > 0, q > 1$ (сводится преобразованиями к типу III).

Тип VI: $p(x) = kx{-q_1} (x-a)^{q_2}, a \leq x < \infty, q_1 > q_2-1$; частные случаи — бета-распределение 2ого рода и Фишера-Снедекора распределение (F-распределение).

Тип VII: $p(x) = k (1+\frac{x^2}{a^2})^{-m}, -\infty < x < \infty, m > \frac{1}{2}$; частный случай — Стьюдента распределение (t-распределение).

Тип VIII: $p(x) = k (1+\frac{x}{a})^{-m}, -a \leq x \leq 0, 0 \leq m \leq 1$.

Тип IX: $p(x) = k (1+\frac{x}{a})^m, -a \leq x \leq 0, m > -1$.

Тип X: $p(x) = k e^{-\frac{x-m}{\sigma}}, m \leq x < \infty, \sigma > 0$, — Показательное распределение (экспоненциальное).

Тип XI: $p(x) = kx^{-m}, b \leq x < \infty, m > 0$; частный случай — Парето распределение.

Тип XII: $p(x) = (\frac{1+\frac{x}{a_1}}{1-\frac{x}{a_2}})^m, -a_1 \leq x \leq a_2, |m| > 1$ (вариант типа I).

Наиболее важны в приложениях типы I, III, VI и VII.

Значение

Всякая кривая Пирсона однозначно определяется своими первыми четырьмя моментами $\alpha_k = \int_{-\infty}^{+\infty}{x^k p(x) dx}$, если они конечны. Это свойство семейства кривых Пирсона используется для приближенного описания эмпирических распределений.

Метод подгонки кривой Пирсона к некоторому эмперическому распределению состоит в следующем. По независимым результатам наблюдений вычисляют первые четыре выборочных момента, затем определяется тип подходящей кривой Пирсона и методом моментов находятся значения неизвестных параметров искомой кривой Пиркса. В общем случае метод моментов не является эффективным методом получения оценок кривых Пирсона. Проблема более точной аппроксимации распределений с помощью кривых Пирсона получила новое решение в работах Л. Н. Большева (1963) по асимптотическим преобразованиям.

Исторический очерк

Кривые Пирсона были введены К. Пирсоном (К. Pearson, 1894).

Литература

• Elderton W. P., Frequency curves and correlation, 4 ed., Camb., 1953.
• Кендалл М., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966.
• Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975 (по-моему 1975).
• Большев Л. Н., "Теория вероятностей и ее применение", 1963, т. 8, № 2, с. 129—155.

См.также

• Распределение вероятностей