Проверка статистических гипотез

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Проверка статистических гипотез — один из базовых классов задач математической статистики.

Статистические гипотезы[]

Определения[]

Пусть дана выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ . Тогда любое утверждение, касающееся природы $\mathbb{P}^{\mathbf{X}},$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ , то есть $H:\;\{\mathbb{P}^{\mathbf{X}} = \mathbb{P}_0\}$ , где $\mathbb{P}_0$ какой-то конкретный закон, называется простой.

Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\;\{\mathbb{P}^{\mathbf{X}} \in \mathcal{P}\}$ , где $\mathcal{P}$ - семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу $H_0$ . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H_1$ , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Пример[]

Пусть дана независимая выборка $(X_1,\ldots,X_n) \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ из нормального распределения, где $\mu$ — неизвестный параметр. Тогда $H_0:\;\{\mu = \mu_0\}$ , где $\mu_0$ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_1:\;\{\mu > \mu_0\}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез[]

Формулировка основной гипотезы $H_0$ и конкурирующей гипотезы $H_1$ . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.
Задание вероятности $\alpha$ , называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.
Расчёт статистики $\phi$ $\phi$ критерия такой, что:
- её величина зависит от исходной выборки $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n): \; \phi=\phi(X_1,\ldots,X_n)$ ;
- по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы $H_0$ ;
- сама статистика $\phi$ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама $\phi$ является случайной в силу случайности $\mathbf{X}$ .
Построение критической области. Из области значений $\phi$ выделяется подмножество $\mathbb{C}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\phi\in\mathbb{C})=\alpha$ . Это множество $\mathbb{C}$ и называется критической областью.
Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику $\phi$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область $\mathbb{C}$ выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы $H_0$ .

Виды критической области[]

Выделяют три вида критических областей:

Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-\infty,\;x_{1-\alpha/n})\cup(x_{\alpha/n}\;+\infty)$ , где $x_{1-\alpha/n},x_{\alpha/n}$ находят из условий

P(\phi < x_{1-\alpha/n})=1-\frac{\alpha}{n}

,

P(\phi > x_{\alpha/n})=\frac{\alpha}{n}

.

Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-\infty,\; x_\alpha)$ , где $x_\alpha$ находят из условия $P(\phi < x_\alpha)=\alpha$ .
Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_\alpha, +\infty)$ , где $x_\alpha$ находят из условия $P(\phi > x_\alpha)=\alpha$ .

Ссылки[]

Оценка параметров
Ошибки первого и второго рода
Статистический критерий
Уровень значимости

Критерии проверки статистических гипотез