Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.
Определение[]
Пусть суть произвольное множество. Семейство непустых множеств , где индекс принимает значения в каком-то индекс-множестве (конечном или бесконечном), называется разбиением , если:
- для любых , таких что ;
- .
называется блоками или частями разбиения данного множества .
Разбиения конечных множеств[]
Разбиения конечных множеств, а также подсчет количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.
Например, числа Стирлинга второго рода представляют собой количество неупорядоченных разбиений -элементного множества на частей, в то время как мультиномиальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений -элементного множества на частей фиксированного размера . Количество всех неупорядоченных разбиений -элементного множества задается числом Белла .
Примеры[]
- , где - множества всех целых чисел, чётных целых чисел и нечётных целых чисел соответственно;
- Множество всех действительных чисел может быть представлено в виде: ;
- Множество из трех элементов может быть разбито пятью способами: , , , , — значит, число Белла .