Распределение Больцмана

Распределение Больцмана — распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия; открыто Л. Больцманом в 1868—1871.

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией $E_i$ равно

$\langle n_i \rangle = \frac{1}{Z} e^{-E_i/k_BT} N_i,$

где $N_i$ — кратность состояния частицы с энергией $E_i$ — число возможных состояний частицы с энергией $E_i$. Постоянная $Z$ находится из условия, что сумма $n_i$ по всем возможным значениям $i$ равна заданному полному числу частиц $n$ в системе (условие нормировки):

$\sum_{i} n_i = n.$

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию $E_i$ можно считать состоящей из

• кинетической энергии $E_i^1=E_i$(кин) частицы (молекулы или атома),
• внутренней энергии $E_i^2=E_i$(вн) (например, энергии возбуждения электронов) и
• потенциальной энергии $E_i^3= E_i$(пот) во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

$E_i = E_i^1+E_i^2+E_i^3.$

Распределение Максвелла

Распределение частиц по скоростям (распределение Максвелла), частный случай распределения Больцмана, имеет место, когда можно пренебречь внутренней энергией возбуждения $E_i^2=E_i$(вн) и влиянием внеш. полей $E_i^3= E_i$(пот). В соответствии с разложением энергии на три слагаемых распределение Больцмана можно представить в виде произведения трёх экспонент, каждая из которых даёт распределение частиц по одному виду энергии.

В постоянном поле тяжести

В постоянном поле тяжести, создающем ускорение $g$, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или других планет) потенциальная энергия пропорциональна их массе $m$ и высоте $h$ над поверхностью, т.е. $E_i^3 = mgh$. После подстановки этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула, выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой.

В квантовой статистике

Распределение Больцмана было получено в рамках классической статистики. В 1924—1926 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений:

• Бозе-Эйнштейна (для частиц с целым спином) и
• Ферми-Дирака (для частиц с полуцелым спином).

Оба эти распределения переходят в распределение Больцмана, когда среднее число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, таким образом когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, другими словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости распределения Больцмана можно записать в виде неравенства:

$\frac{n}{V} \cdot \frac{h^3}{(2\pi mkT)^{3/2}} < 1,$

где $n$ — число частиц, $V$ — объём системы. Данное неравенство выполняется при высокой температуре и малом числе частиц в единице объёма $(n/V)$. Из него также следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений $T$ и $n/V$ справедливо распределение Больцмана.

Например, внутри белых карликов данное неравенство нарушается для электронного газа, и поэтому их свойста следует описывать с помощью распределения Ферми-Дирака. Однако неравенство, а с ним и распределение Больцмана остаются справедливыми для ионной составляющей вещества. В случае газа, состоящего из частиц с нулевой массой покоя (например, газа фотонов), данное неравенство не выполняется ни при каких значениях $T$ и $n/V$. Поэтому равновесное излучение описывается законом излучения Планка, который является частным случаем распределения Бозе-Эйнштейна.

См.также

• Список статей по термодинамике
• Распределение Максвелла-Больцмана
• Распределение Гиббса
• Квантовые статистики
• Квантовые парастатистики
• Статистика Максвелла-Больцмана