Сет-средние случайного множества событий

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Сет-средние случайного множества событий — средние множественно-значные характеристики — сет-характеристики случайного множества событий: сет-мода, сет-медаиана, сет-ожидание и др.; играют в эвентологии роль, аналогичную роли средних числовых характеристик случайной величины: моды, медианы и математического ожидания в теории вероятностей; хотя и отличаются от последних иным способом определения, порожденным отсутствием линейной структуры в пространстве событий, но обладают похожими (в частности, экстремальными метрическими) свойствами; впервые предложены О.Ю.Воробьёвым (первоначально в 1975, окончательно в 1984).

Определение

Сет-средние характеристики определяются для случайного множества событий — сет-значного случайного элемента

$K : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) \to \left(2^{\mathfrak{X}}, 2^{2^{\mathfrak{X}}}\right),$

сет-значениями которого служат подмножества конечного множества событий $\mathfrak{X} \subseteq \mathcal{F}$, выбранных из алгебры событий $\mathcal{F}$ эвентологического пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}).$

Сет-мода:

$\mathbf{P}(K={\rm Mod}K) = \max_{X \subseteq \mathfrak{X}} \mathbf{P}(K=X).$

Сет-медиана:

${\rm Med}K = \{ x \in \mathfrak{X}: \mathbf{P}(x \in K) \geq 1/2 \} \subseteq \mathfrak{X}.$

Сет-ожидание (среднемерное множество):

$\mathcal{E} K = \mathcal{S}_K(h_K) = \{ x \in \mathfrak{X}: \mathbf{P}(x \in K) \geq h_K \}\subseteq \mathfrak{X},$

где $h_K$ таково, что

$\Big||\mathcal{S}_K(h_K)|-{\rm E}|K|\Big| = \min_{h} \Big||\mathcal{S}_K(h)|-{\rm E}|K|\Big|.$

Литература

• Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.
• Воробьёв О.Ю. О множественных характеристиках состояний распределенных вероятностных процессов. Изв.СО АН СССР, №3, Вып.1, 1977.
• Воробьёв О.Ю. Вероятностное множественное моделирование. Новосибирск, Наука, 133с., 1978.
• Воробьёв О.Ю. Среднемерное моделирование. М., Наука, 131с., 1984.
• Stoyan Dietrich, and Helga Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics. John Wiley and Sons. Chichester, New York (pp.107-116: Vorob’ov’s means of a random set)

См.также

• Эвентологический закон больших чисел