Случайная функция — это математическая модель, описывающая случайный процесс, то есть такую функцию, значение которой зависит от случайного выбора и изменяется в зависимости от элементарного исхода некоторого вероятностного пространства. Формально, случайная функция — это отображение
X:Ω×T→R
где:
- Ω — множество элементарных исходов (пространство вероятностей),
- T — множество параметров, обычно интерпретируемое как время (или пространство),
- X(ω,t) — значение случайной функции в момент времени t при исходе ω.
Для каждого фиксированного t, функция X(⋅,t) есть случайная величина, а для фиксированного ω, X(ω,⋅) — реализация или траектория процесса (обычно функция времени).
Случайные функции изучаются в теории случайных процессов, которая охватывает такие важные примеры, как:
- винеровский процесс (броуновское движение),
- пуассоновский процесс,
- марковские процессы,
- гауссовские процессы и др.
Они применяются в физике (моделирование шума и флуктуаций), экономике и финансах (динамика цен, доходностей), инженерии (радиосигналы, шумы), биологии (популяционные модели), а также в математической статистике и обработке сигналов.
Важно отличать случайную функцию от детерминированной: её поведение заранее не определено и описывается вероятностными законами. При этом к случайной функции могут применяться характеристики, аналогичные обычным функциям, но в статистическом смысле: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция, спектр и т. д.