Наука
Advertisement

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семейство случайных величин

,

где произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

  • Если , то параметр может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция называется случайным процессом. Если множество дискретно, например , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если , где , то параметр может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

Классификация

  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А.Я. Хинчин.
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдующие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если
- независимые случайные величины.

Замечание

Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход , то — детерминистическая функция параметра . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции .

Примеры

является случайным процессом.

См. также

Ссылки

Advertisement