Теория вероятностей — раздел математики; изучает математические модели случайных явлений; вычисляет вероятности одних событий по вероятностям других событий; теория нормированной меры, которая отличается от общей теории меры ключевым понятием независимости событий относительно вероятности, выделяющим её в самостоятельную математическую дисциплину; основные понятия: случайный эксперимент, событие, алгебра событий, вероятность, независимость событий, распределение вероятностей, случайная величина, случайный процесс, закон больших чисел, центральная предельная теорема; находит многочисленные применения в естественных и социо-экономических науках.
Основные понятия[]
- Случайный эксперимент
- Пространство элементарных событий
- Статистическая устойчивость частот, Частота события
- Классическое определение вероятности
- Событие
- Вероятность события
- Достоверное и невозможное события
- Алгебра событий
- Вероятностная мера
- Вероятностное пространство
- Аксиоматика Колмогорова
- Геометрическое определение вероятности
- Независимость событий
- Распределение вероятностей
- Случайная величина
- Закон распределения, Функция распределения, Плотность распределения
- Предельные теоремы, Закон больших чисел, Центральная предельная теорема
- Случайный процесс
Исторический обзор[]
Начало теории вероятностей положено в середине XVII в. в работах Блеза Паскаля и Пьера Ферма (переписка, 1654) и Христиана Гюйгенса (первый трактат по теории вероятностей «О расчётах при азартных играх», 1657), которые появились в связи с подсчётом вероятностей исходов в азартных играх. Затем большого успеха достиг Якоб Бернулли, установивший (1713) закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами. Период: XVIII в. и начало XIX в. связан с именами А.Муавра, П.Лапласа, С.Пуассона и К.Гаусса; были доказаны первые предельные теоремы, носящие теперь имена Лапласа (1812) и Пуассона (1837); Гауссом разработан метод наименьших квадратов (1808). Со второй половины XIX в. мировыми лидерами в исследованиях по теории вероятностей становятся русские математики: П.Л.Чебышёв (чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях), А.М.Ляпунов (другим методом получил (1901 близкое к окончательному решение вопроса о законе больших чисел), А.А.Марков (впервые рассмотрел (1907) модель зависимых испытаний, которая впоследствии стала называться цепью Маркова). В начале XX в. расширение круга применений и создание нескольких систем строгого обоснования теории вероятностей связано с именами французов Э.Бореля, П.Леви и М.Фреше, немца Р.Мизеса, американцев Н.Винера, В.Феллера и Дж.Дуба, шведа Г.Крамера. Среди предложенных систем наилучшей общепризнана аксиоматика Колмогорова (1929, окончательно 1933), которая придала теории вероятностей современный вид.
Классическая литература[]
- Huygens C., De ratiociniis in ludo aleae. P., 1657 («О расчётах при азартных играх»)
- Bernoulli Ja., Ars conjectandi, opus posthumum Basileae. 1713 (Бернулли Я., О законе больших чисел. М., 1986)
- Moivre A. de, Doctrine of Chances, 3 ed., L., 1756
- Laplace P.S., Theorie analitique des probabilites, 3 ed., P., 1886
- Чебышёв П.Л., Полн. Собр. Соч., т.2-3, М.-Л., 1947-48
- Liapunoff A., Novelle formed du theoreme sur la limite de probabilite. СПб, 1901
- Марков А.А. Исчисление вероятностей. 4 изд., М., 1924
- Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. 4 изд., М.-Л., 1946
- Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 3 изд., М., 1995.
Учебники и справочники[]
Б[]
- Боровков А.А. Математическая статистика. М., 1984.
- Боровков А.А. Теория вероятностей. М., 1986.
В[]
- Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М., 1960.
- Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1962.
Г[]
- Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1977.
- Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 1988.
- Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., 2001.
- Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., 1970.
К[]
- Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1991.
- Королюк В.С., Скороход А.В. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М., 1985
- Коршунов Д.А., Фосс С.Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск, 1997.
- Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск. 2001.
Л[]
- Лоэв М. Теория вероятностей. М., 1962
П[]
- Прохоров, А.В., Ю.А. Розанов. Теория вероятностей. 3 изд., М.: 1987.
- Прохоров, А.В., В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. Задачи по теории вероятностей. М., 1986.
- Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1979.
Р[]
- Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М., 1985
С[]
- Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1982.
- Севастьянов Б.А., Чистяков, В.П., Зубков, А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М., 1986.
- Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.-И., 2003
- Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М., 1999
Ш[]
- Ширяев А.Н. Вероятность, М., 1989.
- Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики т.1-2, М., 1998.
Ч[]
- Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., 1982.
Ф[]
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. т.1-2, 1984
См.также[]
- Вероятность
- Вероятность (в теории вероятностей)
- Аксиоматика Колмогорова
- Теория случайных процессов
- Теория вероятностей (Брокгауз и Ефрон)