Уишарта распределение (W-распределение)

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Уишарта распределение (W-распределение) — совместное распределение элементов выборочной ковариационной матрицы для многомерного нормального распределения. Пусть результаты наблюдений имеют $p$-мерное нормальное распределение $N(\mu,\Sigma)$ с вектором средних $\mu$ и ковариационной матрицей $\Sigma$. Тогда плотность распределения матрицы $A=\sum_{i=1}^n{(X_i - \overline{X}) (X_i - \overline{X})'}$ определяется формулой

$w(n,\Sigma)=\frac{|A|^\frac{n-p}{2} e^{-\frac{1}{2}\mathrm{sp}A \Sigma^{-1}}}{2^\frac{(n-1)p}{2} \pi^\frac{p(p-1)}{4} |\Sigma|^\frac{n-1}{2} \prod_{i=1}^p{\Gamma(\frac{n-i}{2})}},$

где $\mathrm{sp} A$ — след матрицы $A$, если матрица $A$ положительно определена, и $w(n,\Sigma)=0$ в остальных случаях.

Свойства

Если независимые случайные векторы $X$ и $Y$ имеют W-распределение $W(n_1, \Sigma)$ и $W(n_2, \Sigma)$ соответственно, то вектор $X + Y$ имеет W-распределение $W(n_1+n_2, \Sigma)$.

Многомерное W-распределение

Распределением Уишарта с $n$ степенями свободы и матрицей $\Sigma$ называется $\frac{p(n+1)}{2}$-мерное распределение $W(n, \Sigma)$ с плотностью $w(n, \Sigma)$. Выборочная ковариационная матрица $S = \frac{1}{n-1} A$, являющаяся оценкой матрицы $\Sigma$, имеет W-распределение.

Значение

W-распределение — основное распределение в многомерном статистическом анализе; оно является в определенном смысле $p$-мерным обобщением одномерного хи-квадрат распределения.

Исторический очерк

Впервые W-распределение было введено Дж. Уишартом [1].

Литература

• Wishart J., "Biometrika", 1928, v. 20 A, p. 32—52.
• Андерсон Т., Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ., М., 1963.

См. также

• Распределение вероятностей