Условие Вульфа — Брэгга

Условие Вульфа — Брэгга

Условие Вульфа — Брэгга определяет направление максимумов лучей дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Формула выведена в 1913 независимо У. Л. Брэггом и Г. В. Вульфом. Имеет вид:

$\quad 2d\sin \theta =n\lambda (1)$

где:

d — межплоскостное расстояние,

θ — угол скольжения (брэгговский угол),

n — порядок дифракционного максимума,

λ — длина волны.

Вывод

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке

Падающий (синий) и отражённые (красные) лучи

Как видно есть разница в путях между лучом, отражённым вдоль AC' и лучом, прошедшим ко второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC. Разница в путях запишется как

$(AB+BC)-(AC').$

Если эта разница равна целому числу волн n то две волны придут в точку наблюдения с одинаковыми фазами, испытав интерференцию. Математически можно записать:

$(AB+BC)-(AC')=n\lambda \,$

где λ — длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что

$AB={\frac {d}{\sin \theta }}\,$, $BC={\frac {d}{\sin \theta }},$, $AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,$

как и следующие соотношения:

$AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta \,$

Собрав всё вместе получим известное выражение:

$n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta$

После упрощения получим закон Брэгга

$n\lambda =2d\cdot \sin \theta ~~~~(1).$

Применение

Условие Вульфа-Брэгга даёт возможность определить межплоскостные расстояния d в кристалле, т.к. λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Вывод (1) получен без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, при этом ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом, отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или одновременно к тому и другому. Условие Вульфа-Брэгга является отправным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии. Условие Вульфа-Брэгга остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука. В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Вульфа-Брэгга.,.

См. также

• Дифракция
• Дифракция Брэгга
• Рентгеновская оптика преломления