Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическое равенство, позволяющее находить приближенные значения факториалов $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ и гамма-функции при больших значениях $n$ и имеющее вид

$n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}e^{\theta (n)},$

где $|\theta (n)|\leq {\frac {1}{12n}}$. Иначе говоря, имеют место асимптотические равенства

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n},\ n\to \infty ,$

$\Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}z^{z}e^{-z},\ \mathrm {Re} z\to +\infty ,$

означающие, что при $n \to \infty$ или $\mathrm {Re} z\to +\infty$ отношение левой и правой части стремится к единице.

Относительная ошибка при вычислении $n!$ меньше $e^{1/12n}-1$ и, таким образом, стремится к нулю при неограниченном возрастании $n$.

Названа по имени Джемса Стирлинга (1730), который впервые дал асимптотическое разложение логарифма гамма-функции, так назваемый ряд Стирлинга, из которого получается формула Стирлинга. Независимо от Стирлинга формулу получил также Абрахам де Муавр (1730).

См.также

• Факториал
• Гамма-функция