Функция распределения

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Функция распределения, функция распределения вероятности, функция распределения случайной величины $\xi$ — функция $F(x)$ действительного переменного $x \in \R$, принимающая при каждом $x$ значение, равное вероятности $\mathbf {P} (\xi <x)$ события $\{\omega :\xi (\omega )<x\}\subseteq \Omega$; обладает следующими свойствами:

1. $F(x_{1})\leq F(x_{2})$ при $x_{1}\leq x_{2};$
2. $F(x)$ непрерывна слева при каждом $x\in \mathbb {R} ;$
3. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\ \ \ \lim _{x\to \infty }F(x)=1.$.

Иногда функцию распределения определяют как вероятность события $\{\omega :\xi (\omega )\leq x\}\subseteq \Omega$ (что эквивалентно), но тогда она непрерывна справа.

Каноническое разложение функции распределения

Любая функция распределения разложима на сумму трёх слагаемых — представима в виде их выпуклой линейной комбинации:

$F(x) = a_1 F_1(x) + a_2 F_2 (x) + a_3 F_3 (x)$

$(a_{1}\geq 0,a_{2}\geq 0,a_{3}\geq 0,\ a_{1}+a_{2}+a_{3}=1),$ где

$F_{1}(x)=\int _{-\infty }^{x}f(x)dx$

— абсолютно непрерывная функция распределения;

$F_{2}(x)=\sum _{x_{n}<x}p_{n}$

— «ступенчатая» функция распределения ($x_n$ — точки скачков, $p_n$ — размеры скачков);

$F_3 (x)$

— «сингулярная» функция распределения (непрерывная функция, производная которой почти всюду равна нулю);

См.также

• Теория вероятностей
• Распределение вероятностей
• Плотность распределения
• Закон распределения