Эллипс

Not to be confused with Эллипсис.

Ellipse with focus — Эллипс, его фокусы и главные оси

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек $F_1$ и $F_2$ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

|F_1M|+|F_2M|=2a,

причем

|F_1F_2|<2a.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Связанные определения[]

	Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна $2a$ в вышеприведённом уравнении.
Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются $a$ и $b.$
Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
Расстояния $r_1$ и $r_2$ от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
Расстояние $c=\frac{|F_1F_2|}{2}$ называется фокальным расстоянием.
Диаметром называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \le e < 1).$ . Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
Фокальным параметром $p=\frac{b^2}{a}$ называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: $k = \frac{b}{a}$ . Величина, равная $(1-k) = \frac{a-b}{a}$ называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением $~k^2=1-e^2$

Свойства[]

Оптическое свойство. Если $F_1$ и $F_2$ — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой $(F_1X)$ равен углу между этой касательной и прямой $(F_2X)$ .
Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
Эволютой эллипса является астроида.

Эллипс также можно описать как

фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
ортогональную проекцию окружности на плоскость.
Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Соотношения между элементами эллипса[]

Файл:Ellipse parameters.gif

Части эллипса (описание см. в разделе "Связанные определения")

$~\boldsymbol a$ - большая полуось;
$~\boldsymbol b$ - малая полуось;
$~\boldsymbol c$ - фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
$~\boldsymbol p$ - фокальный параметр;
$~\boldsymbol r_p$ - перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
$~\boldsymbol r_a$ - апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

$~a^2 = b^2 + c^2$

$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \le e < 1).$ .

$~p = \frac{b^2}{a}$

	$~\boldsymbol a$	$~\boldsymbol b$	$~\boldsymbol c$	$~\boldsymbol p$	$~\boldsymbol {r_p}$	$~\boldsymbol {r_a}$
$~\boldsymbol a$ – большая полуось	$~\boldsymbol a$	$~a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}}$	$~a = \frac{c}{e}$	$~a = \frac{p}{1-e^2}$	$~a = \frac{r_p}{1-e}$	$~a = \frac{r_a}{1+e}$
$~\boldsymbol b$ – малая полуось	$~b = a \sqrt{1-e^2}$	$~\boldsymbol b$	$~b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e}$	$~b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}$	$~b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$~b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$
$~\boldsymbol c$ – фокальное расстояние	$~c = ae$	$~c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$	$~\boldsymbol c$	$~c = \frac{pe}{1-e^2}$	$~c = \frac{r_pe}{1-e}$	$~c = \frac{r_ae}{1+e}$
$~\boldsymbol p$ – фокальный параметр	$~p = a(1-e^2)$	$~p = b~\sqrt{1-e^2}$	$~p = c~\frac{1-e^2}{e}$	$~\boldsymbol p$	$~p = r_p (1+e)$	$~p = r_a (1-e)$
$~\boldsymbol r_p$ – перифокусное расстояние	$~r_p = a(1-e)$	$~r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}$	$~r_p = c~\frac{1-e}{e}$	$~r_p = \frac{p}{1+e}$	$~\boldsymbol r_p$	$~r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}$
$~\boldsymbol r_a$ – апофокусное расстояние	$~r_a = a(1+e)$	$~ r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}$	$~ r_a = c~\frac{1+e}{e}$	$~ r_a = \frac{p}{1-e}$	$~ r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e}$	$~\boldsymbol r_a$

Координатное представление[]

Каноническое уравнение[]

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что $0 < b \leqslant a.$ В этом случае величины $a$ и $b$ — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

\left|F_1F_2\right|=2\sqrt{a^2-b^2},\;\;\;e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}< 1.

Координаты фокусов эллипса:

\left(ae,\,0\right),\;\;\;\left(-ae,\,0\right).

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

x=\frac{a}{e},\;\;\;x=-\frac{a}{e}.

Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

p=\frac{b^2}{a}.

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой $\left(x,\,y\right):$

r_1 = a + ex,\;\;\;r_2 = a - ex.

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом $k:$

y=-\frac{b^2}{a^2k}x.

Уравнение касательных, проходящих через точку $\left(x_1, y_1\right):$

\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{-x_1y_1 \pm \sqrt{b^2x_1^2 + a^2y_1^2 - a^2b^2}}{a^2 - x_1^2}

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент $k:$ :

y=kx \pm \sqrt{k^2a^2 + b^2}.

Уравнение нормали в точке $\left(x_1, y_1\right):$

\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}.

Параметрическое уравнение[]

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

\begin{cases} x = a\,\cos t \\ y = b\,\sin t \end{cases}\;\;\; 0 \leqslant t \leqslant 2\pi,

где $t \,$ — параметр уравнения.

Уравнение в полярных координатах[]

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах $\left(\rho, \phi\right)$ будет иметь вид

\rho = \frac{p}{1 \pm e \cos \phi},

где $e$ — эксцентриситет, а $p$ — фокальный параметр. При положительном знаке перед $e$ второй фокус эллипса будет находиться в точке $\left(\pi, -2c\right),$ а при отрицательном — в точке $\left(\pi, 2c\right).$ .

Вывод

Пусть r₁ и r₂ расстояния до данной точки эллипса из первого и второго фокусов. Пусть, также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол $\phi$ отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,

r_1 + r_2 = 2a

.

Отсюда,

r_2^2=\left( 2a - r_1 \right)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2

.

С другой стороны, из теоремы косинусов

r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 - 4r_1c \cos \phi

.

Исключая $r_2$ из последних двух уравнений, получаем

r_1 = \frac{a^2-c^2}{a-c \cos \phi}

Учитывая, что

p = a(1 - e^2)

,

получаем искомое уравнение.

Другое уравнение в полярных координатах:

\rho^2 = \frac{b^2}{1-e^2 \cos^2 \phi}.

Длина дуги эллипса[]

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.

После замены $b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right)$ выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода $E \left(t,e \right)$ . В частности, периметр эллипса равен:

l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)

,

где $E \left(e \right)$ — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра[]

YNOT: $L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)$ где $x=\frac{ln2}{ln(\frac{\pi}{2})}$ Максимальная погрешность этой формулы ~0.3619 % при эксцентриситете эллипса ~0.979811 (соотношение осей ~1/5). Погрешность всегда положительная.

Очень приближенная формула $L = \pi \cdot \left( a + b \right)$

Площадь эллипса и его сегмента[]

Площадь эллипса вычисляется по формуле

~S = \pi a b.

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки $\left(x,\,y\right)$ и $\left(x,\,-y\right):$

S = \frac{\pi a b}{2} + \frac{b}{a} \left(x\,\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right).

Построение эллипса[]

Пусть даны две взаимноперпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса.

С помощью циркуля[]

Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямых точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q₁ (или Q₂) отметим на отрезке P₁Р₂ точки F₁ и F₂. Полученные точки являются фокусами эллипса.
На отрезке P₁Р₂ выберем произвольную точку T. Затем с помощью циркуля начертим две окружности: первую — радиуса, равным длине отрезка TP₁, с центром в точке F₁ и вторую радуса, равным длине отрезка TP₂, с центром в точке F₂. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, т.к. сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a.
Повторяя необходимое число раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.

С помощью циркуля и линейки[]

Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию. Затем раствором циркуля, равным а, с центром в точке O отмечаем на ней точку S, а раствором, равным b — точку R.
Затем из точки S опускаем перепендикуляр на прямую P₁Р₂. Для этого произвольным раствором циркуля (но бо́льшим, чем расстояние от точки до прямой), с центром в точке S отмечаем на отрезке P₁Р₂ две точки, переносим в них циркуль и отмечаем тем же радиусом точку персечения окружностей S'. Затем с помощью линейки соединяем точки S и S', это и есть искомый перпендикуляр.
Аналогичным способом опускаем перепендикуляр из точки R на прямую Q₁Q₂.
Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу.
Повторяя необходимое число раз шаги четырёх предыдущих пунктов, получим искомый эллипс.

Ссылки[]

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.

Литература[]

Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, Гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73. (см. ISBN )