Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

В настоящее время в нечеткой логике в качестве операций конъюнкции и дизъюнкции широко используются t-нормы и t-конормы, пришедшие в нечеткую логику из теории вероятностных метрических пространств. Эти операции достаточно хорошо изучены и лежат в основе многих формальных построений нечеткой логики.

Целесообразность применения тех или иных операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике может рассматриваться с разных позиций в зависимости от области приложений нечеткой логики.

t-нормы и t-конормы[]

Определение 1.1.t-норма Т определяется как функция $T:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$ , такая,что $\forall x, y, z \in [0,1]$ выполнены аксиомы :

1.Коммутативность $T(x,y)=T(y,x),$
2.Монотоность $T(x,y)\leq T(x,z), \mbox{ если } y\leq z,$
3.Ассоциативность $T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),$
4.Граничное условие $T(x,1)=x$

Определение 1.2.t-конорма S определяется как функция $S:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$ , такая,что $\forall x, y, z \in [0,1]$ выполнены аксиомы :

1.Коммутативность $S(x,y)=S(y,x),$
2.Монотоность $S(x,y)\leq S(x,z), \mbox{ если } y\leq z,$
3.Ассоциативность $S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),$
4.Граничное условие $S(x,0)=x$

t-норма и t-конорма в определенном смысле являются двойственными понятиями. Эти функции могут быть получены друг из друга, например, с помощью инволютивного отрицания n и законов Де Моргана следующим образом $S(x,y)=n(T(n(x),n(y))),T(x,y)=n(S(n(x),n(y))).$ Для n(x)=1-x получим: ${\displaystyle S(x,y)=1-T(1-x,1-y). }$

Примеры t-норм и t-конорм

Минимум $T_M$ и максимум $S_M$

           $T_M(x,y)=min(x,y), \qquad S_M(x,y)=max(x,y).$

Вероятностное произведение $T_P$ и вероятностная сумма $S_P$

           $T_P(x,y)=x\cdot y, \qquad S_P(x,y)=x+y-x\cdot y,$

t-нормы Лукасевича $T_L$ и $S_L$

           $T_L(x,y)=max(x+y-1,0), \qquad S_L(x,y)=min(x+y,1),$

Сильное произведение $T_D$ и сильная сумма $S_D$

 ${\displaystyle T_D(x,y)=\left\{ \begin{aligned} 0,\qquad if(x,y)\in [0,1)^2;\\ min(x,y),\qquad else \\ \end{aligned} \right. }$ 
 ${\displaystyle S_D(x,y)=\left\{ \begin{aligned} 1,\qquad if (x,y)\in (0,1]^2;\\ max(x,y),\qquad else \end{aligned} \right.}$

Нильпотентный минимум $T_M^{Nil}$ и нильпотентный максимум $S_M^{Nil}$

${\displaystyle T_M^{Nil}(x,y)= \begin{cases} min(x,y),& \mbox{ if } x+y>1, \\ 0,& \mbox{ else.} \end{cases} }$
${\displaystyle S_M^{Nil}(x,y)= \begin{cases} max(x,y),& \mbox{ if } 1>x+y, \\ 1,& \mbox{ else.} \end{cases} }$

Замечание' Для любых t-норм и t-конорм выполнены следующие неравенства:

$T_D(x,y) \leq T(x,y)\leq T_M(x,y)$
$S_M(x,y) \leq S(x,y) \leq S_D(x,y)$
$T_D(x,y)\leq T_M(x,y) \leq S_M(x,y) \leq S_D(x,y).$

Теорема 1.t-норма является непрерывной и Архимедовой тогда и только тогда, когда существует строго убывающая и непрерывная функция ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow [0,\infty), f(1)=0}$ ,такая что, $T(x,y)=f^{(-1)}(f(x)+f(y))$ , где $f^{(-1)}$ - есть псевдообратная функция для $f$ , определяемая как ${\displaystyle f^{(-1)}(x)= \begin{cases} f^{-1},& \mbox{ if } x\leq f(0),\\ 0,& \mbox{ else } \end{cases} }$
Более того, представление $T(x, y)$ в теореме 1. однозначно с точностью до положительной мультипликативной константы.
В условии теоремы $f$ называется аддитивным генератором t-нормы $T$ , о которой, в свою очередь, говорят, что она генерируется с помощью $f$ .

Определение 1.3.Мультипликативным генератором t-нормы $T$ называется строго возрастающая функция $\varphi:[0,1]\rightarrow [0,1]$ такая, что $\varphi$ непрерывна справа в 0, ${\displaystyle \varphi(1)=1, \varphi(x)\cdot \varphi(y)\in Ran(\varphi)\cup [0,\varphi(0)]}$ ,где $Ran(\varphi)$ -область значения $\varphi$ , и выполняется: $T(x,y)=\varphi^{(-1)}(\varphi(x)\cdot \varphi(y)).$

Параметрические классы t-норм и t-конорм[]

t-нормы и t-конормы Домби[]

${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{1+((\frac{1-x}{x})^{\lambda}+(\frac{1-y}{y})^{\frac{1}{\lambda}})}, \mbox{ if } \lambda \in (0,\infty),\\ T_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =0,\\ T_M(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty,\\ \end{cases}}$
${\displaystyle S(x,y)= \begin{cases} 1-\frac{1}{1+((\frac{x}{1-x})^{\lambda}+(\frac{1-y}{y})^{\lambda})^{\frac{1}{\lambda}}} ,\mbox{if } \lambda \in (0,\infty),\\ S_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =0,\\ S_M(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty, \end{cases}}$

t-нормы и t-конормы Франка[]

$T(x,y)={\begin{cases}\log _{\lambda }(1+{\frac {(\lambda ^{x}-1)(\lambda ^{y}-1)}{\lambda -1}}),{\mbox{ åñëè }}\lambda \in (0,1)\cup (1,\infty ),\\T_{M}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =0,\\T_{P}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =1,\\T_{L}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =\infty ,\end{cases}}$
$S(x,y)={\begin{cases}1-\log _{\lambda }(1+{\frac {(\lambda ^{1-x}-1)(\lambda ^{1-y}-1)}{\lambda -1}}),{\mbox{ åñëè }}\lambda \in (0,1)\cup (1,\infty ),\\S_{M}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =0,\\S_{P}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =1,\\S_{L}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =\infty ,\end{cases}}$

t-нормы и t-конормы Хамахера[]

${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{\lambda + (1-\lambda)(x+y-xy)}, \mbox{ if } \lambda \in [0,\infty) \mbox{ and } (\lambda, x, y)\neq (0,0,0),\\ T_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty,\\ 0, \mbox{ if } \lambda = x = y = 0. \end{cases}}$
${\displaystyle S(x,y)= \begin{cases} \frac{x+y+(\lambda -2)xy}{1+(\lambda -1)xy}, \mbox{ if } \lambda \in (0,\infty) \mbox{ and } (\lambda, x, y)\neq (0,1,1),\\ S_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty,\\ 1, \mbox{ if } \lambda =0 \mbox{ and } x=y=1, \end{cases}}$

t-нормы и t-конормы Швайцера-Скляра

$T(x,y)={\begin{cases}(max((x^{\lambda }+y^{\lambda }-1),0))^{\frac {1}{\lambda }},{\mbox{ åñëè }}\lambda \in (-\infty ,0)\cup (0,\infty ),\\T_{M}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =-\infty ,\\T_{P}(x,y),{\mbox{ if }}\lambda =0,\\T_{D}(x,y),{\mbox{if }}\lambda =\infty .\end{cases}}$
${\displaystyle S(x,y)= \begin{cases} 1-(max((1-x)^{\lambda}+ (1-y)^{\lambda}-1),0))^{\frac{1}{\lambda}}, \mbox{ if } \lambda \in (-\infty,0)\cup (0,\infty)\\ S_M(x,y), \mbox{ if } \lambda =-\infty,\\ S_P(x,y), \mbox{ if } \lambda =0,\\ S_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty, \end{cases}}$

t-нормы и t-конормы Ягера[]

${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} max(1-((1-x)^{\lambda}+(1-y)^{\lambda})^{\frac{1}{\lambda}},0), \mbox{ if} \lambda \in (0,\infty),\\ T_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =0,\\ T_M(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty, \end{cases}}$
Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin{cases}»): {\displaystyle S(x,y)= \begin{cases} min((x^{\lambda}+y^{\lambda})^{\frac{1}{\lambda}},1),\mbox{ if } \lambda \in (0,\infty),\\ S_D(x,y), \mbox{ if } \lambda =0,\\ S_M(x,y), \mbox{ if } \lambda =\infty, \end{cases}}

t-нормы и t-конормы Майора-Торренса[]

${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} max(x+y-\lambda,0),& \mbox{ if } \lambda \in (0,1] \mbox{ and } (x,y)\in [0,\lambda]^2,\\ min(x,y),& \mbox{ if} \lambda =0 \mbox{ or } x > \lambda \mbox{ or } y > \lambda \end{cases}}$
${\displaystyle S(x,y)= \begin{cases} min(x+y+\lambda -1,1),& \mbox{ if } \lambda \in (0,1] \mbox{ and } (x,y)\in [1-\lambda,1]^2,\\ max(x,y),& \mbox{ if } \lambda =0 \mbox{ or } x < 1- \lambda\mbox{ or } y < 1- \lambda \end{cases}}$

Порядковые суммы[]

Теорема 2.Пусть $(T_\alpha)_{\alpha \in A}$ семейство t-норм и $(a_\alpha,b_\alpha)_{\alpha \in A}$ семейство попарно непересекающихся подинтервалов из [0,1]. Тогда функция $T$ : $[0,1]^2\rightarrow [0,1]$ , определенная следующим образом:
${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} a_\alpha+(b_\alpha - a_\alpha)\cdot T_\alpha(\frac{x-a_\alpha}{b_\alpha - a_\alpha},\frac{y-a_\alpha}{b_\alpha - a_\alpha}),& \mbox{ if }(x,y)\in[a_\alpha,b_\alpha]^2,\\ min(x,y), & \mbox {else} \end{cases}}$
является t-нормой и ее называют порядковой суммой слагаемых ${\displaystyle \langle a_\alpha, b_\alpha, T_\alpha \rangle , \alpha \in A}$ и обозначают ${\displaystyle T\approx(\langle a_\alpha, b_\alpha, T_\alpha \rangle)_{\alpha \in A}}$
'Пример'Порядковая сумма двух слагаемых ${\displaystyle \langle \frac{1}{4},\frac{1}{2},T_P \rangle}$ и $\langle \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, T_L \rangle$ ,т.е. ${\displaystyle T\approx \left ( \langle \frac{1}{4},\frac{1}{2},T_P \rangle, \langle \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, T_L \rangle \right ),}$ дает

 ${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{4}(1+(4x-1)(4y-1)),& \mbox{if }(x,y)\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]^2,\\ \frac{2}{3}+max(0,x+y-\frac{17}{12}), & \mbox{if} (x,y)\in [\frac{2}{3},\frac{3}{4}]^2,\\ min(x,y),& \mbox{else}. \end{cases}}$

Порядковые суммы могут иметь бесконечно много слагаемых, например $T\approx \left ( \langle \frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}},T_P \rangle\right ) _{n \in N}$ ,означает,что
${\displaystyle T(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2^n}(1+(2^nx-1)(2^ny-1)),& \mbox{ if }(x,y)\in[\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}]^2,\\ min(x,y),& \mbox{ else}. \end{cases}}$

T-нормы, t-конормы и порядковые суммы

Содержание